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1、Lagrange插值对给定的n个插值节点，利用n次Lagrange插值多项式公式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求得：编写Lagrange插值函数的m文件%拉格朗日插值（lagrangeinsert）functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end给出的数值
2、表，如下表所示，求Lagrange插值多项式，并用Lagrange插值计算的近似值。x0.40.50.60.70.8ln(x)-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144>>symst>>x=[0.4:0.1:0.8];>>y=[-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144];>>L=lagrange(x,y,t)%求Lagrange插值多项式L=-62809452203122625/1688849860263936*(5/2*t-1)*(t-
3、1/2)*(t-3/5)*(t-7/10)+402807580171551375/2251799813685248*(10/3*t-4/3)*(t-1/2)*(t-3/5)*(t-4/5)-287569472906395125/1125899906842624*(5*t-2)*(t-1/2)*(t-7/10)*(t-4/5)+390207071364122125/3377699720527872*(10*t-4)*(t-3/5)*(t-7/10)*(t-4/5)+515825975770367375/13510798882111488
4、*(-10*t+5)*(t-3/5)*(t-7/10)*(t-4/5)>>expand(L)%将上式展开ans=153809433971751925/27021597764222976*t-148241949004410125/27021597764222976*t^2+8809885296067375/3377699720527872*t^3-2091359076960625/6755399441055744*t^4-1392941972647469/562949953421312>>vpa(ans)ans=5.6920925000
5、000575459206212750966*t-5.4860541666668140766323820874580*t^2+2.6082500000001636782561339108118*t^3-.30958333333340008290216853007829*t^4-2.4743620000000081660118667059578lagrange(x,y,0.54)%用Lagrange插值计算的近似值。ans=-0.6160>>log(0.54)%计算ln(0.54)ans=-0.6162并非插值多项式的次数越高越逼近逼近函
6、数，这种现象叫做Runge现象。下面例子反映了这一现象：>>x=[-5:1:5];>>y=1./(1+x.^2);>>x0=[-5:0.1:5];>>y0=lagrange(x,y,x0);>>y1=1./(1+x0.^2);>>plot(x0,y0,'--r')>>holdon>>plot(x0,y1,'-b')分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘图的基本原理。一维插值：（1）yi=interp1(x,y,xi)对一组节点（x,y）进行插值，计算插值点xi的函数值。（2）yi=inte
7、rp1(y,xi)此格式默认x=1:n。（3）yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值算法，默认为线性算法。插值算法：1.nearest线性最近项插值2.linear线性插值3.spline三次样条插值4.cubic三次插值>>x=0:0.1:10;>>y=sin(x);>>xi=0:0.25:10;>>yi=interp1(x,y,xi);>>plot(x,y,xi,yi,'ro')下面用分段插值拟合上面Runge现象例子的函数，并和Lagrange插值拟合效果进行较。>>x=[-5:1:5];
8、y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);>>y2=interp1(x,y,x0);>>plot(x0,y1,'-b')%绘制原函数曲
