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1、专题:与极值（点）有关的证明问题例1设函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，且，求证：．例2设函数，且存在两个极值点，其中．(1)求实数a的取值范围；(2)证明不等式：．例3已知函数．(1)若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；(2)设，若有极大值点，求证：．例4设函数,．(1)若函数在上单调递增,求的取值范围；(2)若函数有两个极值点,且.求证．例5已知函数在定义域内有两个不同的极值点．(1)求实数的取值范围；(2)记两个极值点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．例6已知函数．(1)若，恒有成立，
2、求实数的取值范围；(2)若，求在区间上的最小值；(3)若函数有两个极值点，求证：.例7已知函数，其中.(1)若，和在区间上具有相同的单调性，求实数的取值范围；(2)设函数有两个极值点，且，求证：.例8已知函数，.(1)若和在有相同的单调区间，求的取值范围；(2)令（），若在定义域内有两个不同的极值点．（i）求的取值范围；（ii）设两个极值点分别为，，证明：．例9已知函数，．(1)若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；(2)若函数存在两个极值点，，且，证明：．例10设函数，，且存在两个极值点、，其中．(1)求实数的取值范围；(
3、2)求的最小值；(3)证明不等式：．练习题1．已知函数,．(1)求函数的极值；(2)若恒成立,求实数的值；(3)设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明．2．已知函数f(x)＝alnx＋x2－ax(a为常数)．(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点分别为、，不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．3．已知．(Ⅰ)当时，求函数的所有零点；(Ⅱ)若有两个极值点，且，求证：(为自然对数的底数).4．已知函数上有两个极值点且．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．5．已知函数．(1)当时
4、，判断函数的单调区间并给予证明；(2)若有两个极值点，证明：．6．已知函数(其中为常数)．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，设函数的个极值点为，且.证明：.7．已知,,,其中.(1)若与的图像在交点处的切线互相垂直,求的值；(2)若是函数的一个极值点,和是的两个零点,且，,求的值；(3)当时,若,是的两个极值点,当时,求证:.8．(2018·湖南长沙一模)设函数f(x)＝x2－2x＋1＋alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则f(x2)的取值范围是( )A.B.C.D.9．已知函数，(e为自然对数的底数)．(Ⅰ)当
5、x∈[0，＋∞)时，求的最小值；(Ⅱ)若函数恰有两个不同极值点、．①求的取值范围；②求证：．10．已知函数（），其中无理数…．(1)若函数有两个极值点，求的取值范围．(2)若函数的极值点有三个，最小的记为，最大的记为，若的最大值为，求的最小值．专题与极值（点）有关的证明问题答案例1解：（Ⅰ）函数的定义域为，令，则．①当时，,，从而，故函数在上单调递增；②当时，,的两个根为，当时，，此时，当函数单调递减;当函数单调递增．当时，,此时函数在区间单调递增;当函数单调递减．综上:当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间单调递增;在区间函数单
6、调递减;当时，函数单调递减,函数单调递增（Ⅱ）当函数有两个极值点时,,,且即,令,令,函数单调递增;令,函数单调递减;,．例2解：（Ⅰ）由题意，，∵函数存在两个极值点，且，∴关于的方程，即在内有两个不相等实根．令，则解得．所以，实数的取值范围（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴，令，则，且，令，则-∴，∵，∴即在上是减函数，∴，∴在上是增函数，∴，即，所以，．例3（1）因为因为函数存在与直线平行的切线，所以在上有解即在上有解，也即在上有解，所以，得故所求实数的取值范围是（2）因为因为①当时，单调递增无极值点，不符合题意②当或时，令，设的两根为和，因为
7、为函数的极大值点，所以，又，所以，所以，则要证明，只需要证明因为，，令，所以，记，，则当时，，当时，，所以，所以所以在上单调递减，所以，原题得证例4(1)根据题意知:在上恒成立.即在区间恒成立.在区间上的最大值为,;经检验:当时,满足要求,故.(2)由函数定义域为,函数有两个极值点,所以即在上有两个不等式的实根,则解得因为且,所以,,.所以,令,则,令,则.因为,所以存在,使得.所以在上递减,在上递增.又,,所以,对任意,都有,即,……9分所以在上单调递减.故,即.例5.解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f
8、′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k
