极值点偏移问题专题.docx

《极值点偏移问题专题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移）例1已知函数fx2lnxx2x，若正实数x1，x2满足fx1+fx2=4，求证:x1x22。证明：注意到f1=2，fx1+fx2=2f1fx1+fx2=2f1fx=210+2xxfx=22，f1=0，则（1,2）是fx图像的拐点，若拐点（1,2）也是fx的x2对称中心，则有x1x2=2，证明x1x22则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍

2、可用“对称化构造”来处理．不妨设0x11x2，要证x1x22x22x11fx2f2x14fx1f2x14fx1f2x1Fxfxf2x，x0,1，则Fxfxf2x22x12x1x222x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯411x10，x2x得Fx在0,1上单增，有FxF1214，得证。2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路1、极值点偏移（fx00）二次函数fx1fx2x1x22x0fx1fx2x22x0x1x1x22x02、拐点偏移fx00fx1fx22fx0fx1fx22fx0x22x0x1x1x2

3、2x0x22x0x1极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路）例1（2010天津）已知函数fxxex．（1）求函数fx的单调区间和极值；（2）已知函数gx的图像与fx的图像关于直线x1对称，证明：当x1时，2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯fxgx；（3）如果x1x2，且fx1fx2，证明：x1x22．点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数fxxex，已知fx1fx2，x1x2

4、，证明x1x22．再次审视解题过程，发现以下三个关键点：（1）x1，x2的范围0x11x2；（2）不等式fxf2xx1；3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3）将x2代入（2）中不等式，结合fx的单调性获证结论．把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题．例2（2016新课标Ⅰ卷）已知函数fxx2ex2ax1有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是fx的两个零点，证明：x1x22．解：（1）0,，过程略；（2）由（1）知fx在,1上，在1,上，由fx1fx20，可设x11x

5、2．构造辅助函数Fxfxf2xFxfxf2xx1ex2a1xe2x2ax1exe2x当x1时，x10，exe2x0，则Fx0，得Fx在,1上，又F10，故Fx0x1，即fxf2xx1．将x1代入上述不等式中得fx1fx2f2x1，又x21，2x11，fx在1,上，故x12x1，x1x22．通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解．但极值点偏移问题的结论不一定总是x1x22x0，也可以是x1x2x02，借鉴前面的解题经验，我们就可给出类似的过程．例3已知函数fxxlnx的图像与直线ym交于不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2

6、，1求证：x1x2e2．证明：（i）fxlnx1，得fx在0,11；当0x1时，上，在,上eefx0；f10；当x1时，fx0；当x0时，fx0（洛必达法则）；4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯当x时，fx，于是fx的图像如下，得0x11x21．e小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：step1：求导，获得fx的单调性，极值情况，作出fx的图像，由fx1fx2得x1，x2的取值范围（数形结合）；step2：构造辅助函数（对结论x1x22x0，构造Fxfxf2x0x；对结论xx

7、x2，构造Fxfxfx02），求导，限定范围（x或x的范围），判定120x12符号，获得不等式；step3：代入x1（或x2），利用fx1fx2及fx的单调性证明最终结论．5