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1、文科数学2009名师面对面系列丛书(一轮总复习)广州博研图书发展有限公司制作严禁转载违者必究第三章导数及其应用知识框架考试要求§3.3生活中的优化问题§3.1导数的概念及其计算§3.2导数在研究函数中的应用知识框架平均速度瞬时速度平均变化率瞬时变化率割线斜率切线斜率导数基本初等函数导数公式导数运算法则导数与函数单调性的关系导数与(最)值的关系导数的实际应用返回章菜单考试要求（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图象直观地理解导数的几何意义.
2、（2）导数的运算①能根据导数的定义，求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数.②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；③会使用导数公式表.（3）导数在研究函数中的应用①了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.（4）生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题，
3、返回章菜单返回章菜单§3.1导数的概念及其计算知识要点例题剖析知识要点1.平均变化率设函数y=f(x)，那么式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,简记为2.导数的概念一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′
4、x=x0即f′(x0)=当x=x0也变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数),y′=f′(x)=△x→0lin△x→0lin△x→0lin△x→0lin3.导数的几何意义函数f(x)在
5、x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).4.导数计算公式及求导法则（请学生自主学习）写出下列函数导数或运算法则（1）f(x)=c(c为常数)；答:f′(x)=0（2）f(x)=xn（n∈Q）；答:f′(x)=nxn-1（3）f(x)=sinx；答:f′(x)=cosx（4）f(x)=cosx;答:f′(x)=-sinx（5）f(x)=ax;答:f′(x)=axlna（6）f(x)=ex;答:f′(x)=ex（7
6、）f(x)=logax；答:f′(x)=（8）f(x)=lnx；答:f′(x)=（9）y=f(x)±g(x)；答:y′=f′(x)±g′(x)（10）y=f(x)·g(x)；答:y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)（11）y=(g(x)≠0);答:y′=返回节菜单例题剖析[例1]过曲线y=x3-3x上的一点P的切线平行于x轴,则点P的坐标是()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(1,2)或(-1,-2)D.(-1,2)或(1,-2)[答案]D[解析]y′=3x2-3,设P（x0,y0）,则y′
7、x
8、=x0=3x0-3=0∴x0=±1当x0=1时,y0=-2,当x0=-1时y0=2∴P(1,-2)或P(-1,2)[例2]求下列函数的导数[解析]=x4-4x2+3(2)y′=［(3x5-4x3)(4x5+3x3)］′=(12x10-7x8-12x6)′=120x9-56x7-72x5[点评]求函数的导数可以利用导数公式和运算法则.[例3]用导数的定义求曲线在x=1处的切线方程.[解析]∴y′=在x=1处的切线斜率k=y′
9、x=1=所以切线方程为△x→0lin△x→0lin[点评]在某一点切线的斜率就是该点对
10、应的导数.根据定义求导数的方法为：①求函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x);②求平均变化率③求极限△x→0lin△x→0lin延伸拓展1已知曲线上一点P(1,2),用导数定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程.[解析]K=△x→0lin△x→0lin△x→0lin=△x→0lin=∴tanα=1,∴倾斜角为α=45°,切线方程为y-2=x-1即x-y+1=0.[例4]日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为求净化到下列
11、纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.（1）90%；（2）98%[解析]净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.答:（1）纯净度为90%时,费用的瞬时变化率为52.84元/吨；（2）纯净度为98%时,费用的瞬时变化率为1321元/吨.[点评]函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由（1）（2）计算可知C′(98)=25C′(90
