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1、第三章 导数及其应用第二讲 导数的应用[知识梳理]［知识盘点］1．函数的单调性函数在某个区间内，若，则为 ；若，则为 ；若，则为 。2．如果一个函数在某个区间内的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化 ，这时函数的图象就越“ ”。3．（1）函数极值的概念函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，；而且在点附近的左侧 ，右侧 ，则点叫做函数的 ，叫做函数的 .函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大，；而且在点附近的左侧 ，右侧
2、 ，则点叫做函数的 ，叫做函数的 . 极小值点与极大值点统称为 ，极小值与极大值统称为 . （2）求函数极值的步骤： ① ；② ；③ 。4．函数的最大值与最小值在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：（1） ；（2） 。［特别提醒］导数的应用不要包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究曲
3、线的切线问题;(4)利用导数研究不等式的证明问题;(5)利用导数研究函数的零点;(6)利用导数求参数的取值范围等.在复习的过程中,应注意总结规律,一般来说,利用导数解决的问题,其所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数,非常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解决.再如：①f(x)在某个区间内可导，若f′(x)＞0,则f(x)是增函数；若f′(x)＜0,则f(x)是减函数.②求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极
4、值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0.③可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得等等。另外,在复习过程中,要注意等价转化,分类讨论,数形结合等数学思想方法的训练,在解决导数的综合应用题中,这些思想方法始终贯穿于其中,是正确解决问题的关键.[基础闯关]1．关于的函数的极值点的个数有（）A．2个B．1个C．0个D．由确定2．设y=x-lnx，则此函数在区
5、间(0,1)内为（ ）A．单调递增B、有增有减C、单调递减D、不确定3．=0是可导函数y=f(x)在点x=x0处有极值的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D）非充分非必要条件4．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是_________6．设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的
6、周长最大时，=.[典例精析]例1．若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围.［剖析］函数存大单调区间,就是不等式有实数解,考虑到函数的定义域为,所以本题就是要求在上有实数解.［解］.因为函数存在单调递减区间,所以有解.又因为函数的定义域为,则应有的解.(1)当时,为开口向上的抛物线,,总可以找到的解;(2)当时,为开口向下的抛物线,要使总有大于0的解,则且方程至少有一个正根,此时.(3)当时,显然符合题意.综上所述,实数的取值范围是.［警示］一般地涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题,往往可以借助于导数这一工具进行求解.函数的定义域内
7、存在单调区间,就是不等式或在其定义域内有解,这样就将问题转化为了求解不等式的问题.本题在解答时,很容易忽视函数定义域这一限制条件,即在解答时,只是要求不等式有解,而不是在内有解,从而导致错误.在研究函数的有关性质时,一定要注意优先考虑定义域.［变式训练］：1.(1)已知为实数，函数．若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．(2)(2005年重庆卷)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中aÎR.若f(x)在(-¥,0)上为增函数，求a的取值范围。例2．(2005年北京卷)已知函数若在区间[－2，2].上的最大值为20.(
8、1)求实数的值;(2)是否存在实数,使得对于,总存在,都有成立?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.［剖析］对于第(2)小题,可先由(1)
