导数及其应用.ppt

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1、导数及其应用忻州师院附属中学王志宏8/9/2021可导函数的单调性与其导数的关系：当函数y=f(x)在某个区间可导时，如果f’(x)>0,则f(x)为增函数；如果f’(x)<0,则f(x)为减函数；但反过来，函数f(x)在某个区间为增（减）函数，f（x)在此区间的某个点处的导数可能为0，如f(x)=x3,所以在求f(x)的单调区间时，我们一般是解不等式f‘(x)≥0(或f‘(x)≤0）可导函数在某点取得极值的必要条件是：在此点处的导数为0.高考预测：由于导数应用的广泛性，并为函数性质的研究提供了一般的方法，因

2、此，使其在考察中的位置更为重要，这部分命题多与函数、解析几何、不等式有关，要注意知识的全面性和综合应用，考题将在求函数的导数，用导数几何意义求曲线的切线的斜率和方程，用导数判断或证明单调性，求函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面拟题题型求切线方程方程的根函数的单调性求函数的最值解不等式例1（04浙江）设f’(x)是f(x)的导函数，y=f’(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（）xyO12y=f’(x)xyO12DxyO12CxyO12AxyO12B函数的单调性例2函数f(x)=x3

3、+ax2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b<0时,f(x)是（）A增函数B减函数C常数D既不是增函数也不是减函数例3（04湖南）如图，已知曲线C1：y=x3（x0），与曲线C2：y=-2x3+3x（x0），交于点O、A，直线x=t(0

4、取值范围.解：例5（全国卷Ⅰ）已知函数在R上是减函数，求a的取值范围.解：求函数f(x)的导数：f‘(x)=3ax2+6x-1.(1)当f‘(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数.3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0,且Δ=36+12a<0a<-3所以，当a<-3时，由f‘(x)<0知f(x)(x∈R)是减函数；(2)当a=-3时，由函数y=x3在R上的单调性，可知当a=-3时，f(x)(x∈R)是减函数；(3)当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f‘(x)>0.所以，当a>-3时，f(x)(x∈R)

5、是不是减函数.综上，所求a的取值范围是（-∞，-3].例2已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,有极大值和极小值,则实数a的取值范围是（）A-16Da<-1或a>2例1（04湖北）函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是（）Aa>0Ba0Ca<0Da0极值与最值例3（04浙江）已知a为实数，f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导数f‘(x);(2)若f‘(-1)=0,求f(x)在[-2，2]上的最大值和最小值；(3)若f(x)在(-,-2]和[2，

6、+)上都是递增的，求a的取值范围.[-2,2]例1设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点处的切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴的距离取值范围为（）ABCD例2设点P是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是（）BDCA关于切线例3若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线与直线x+3y-1=0垂直，则点P的坐标是（）A（1，0）B（1，2）C（-1，4）D（-1，0）例4（04湖北）已知b>-1,c>0，函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c

7、的图象相切.(1)求b与c的关系式（用c表示b）；(2)设函数F(x)=f(x)g(x)在内有极值点，求c的取值范围.例5(全国卷Ⅲ)解：(2)1.设三次方程f(x)=ax3+bx2+cx+d=0(a>0)有且只有一个实根的条件是：f(x)是单调函数或f(x)有极值，极值同号。（如示意图）0x0xyy0x关于三次方程根的情况yx0x1x2例3（02北京春）已知函数则b的取值范围是___________.f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，xyO12解：（1）由f’(x)=3x2+a,若a≥0时，

8、f’(x)>0恒成立，所以f(x)在xR，单调递增，不合题意。例、已知函数f(x)=x3+ax-4a3在（-

9、a

10、,

11、a

12、）上单调递减。（1）确定a的取值范围；（2）求f(1)的取值范围。若a<0时，f’(x)=3x2+a=0,解得：x=xf’(x)+0-0+f(x)列表：f(x)在上是单调递减。ag’(a)-0+0-g(a)列表:回顾：①研究含参的函数的单调性问题在近几年高考题中频频出现，此类题