概率论§2.3连续型随机变量ppt课件.ppt

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1、§2.3连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间，对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值的概率的方式去给出其概率分布，而是需要通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述。下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法。1定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在非负函数f(x),使得对于任意实数x,有连续型随机变量则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。可知,连续型随机变量的分布函数F(x)是整个实轴上的连续函数.若概率密度f(x)在点x连续,则F(x)=f(x)2分

2、布函数F(x)与密度函数f(x)的几何意义xyF(x)x3概率密度函数f(x)的性质(3)常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。(1)(2)P(x10,有得P(X=a)=0{X=a}{a

3、机变量X落在区间的概率与区间是否包含端点无关即:P(a

4、x

5、,0x≤0(2)P(0

6、随机变量X的分布函数为解:(1)F(+)=1=A=1右连续:得:A=1,B=1=A+B=013(2)f(x)=F(x)(3)14试求X的概率密度.例4设随机变量X的分布函数为解:令则f(x)为非负函数15且对于任意实数x有故X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)。注：当某一随机变量的分布函数F(x)连续，除有限个点外，导数F’(x)存在且连续时，则X为连续型随机变量，其概率密度可以按照下面的步骤来求。(1)在F’(x)存在的点x处，令f(x)=F’(x);(2)在F’(x)不存在的点x处，令f(x)为任意非负数16常见连续型随机变量的分布设连续型

7、随机变量X具有概率密度则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为X～U[a,b]1.均匀分布17由上式求得X的分布函数:若X～U[a,b],[c,d][a,b],有:P(c≤X≤d)即随机变量X落在(a,b)内任何长为d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比。可见，X落在长度相等的各个子区间的可能性相等。这正是几何概型的情形。18xf(x)abxF(x)ba概率密度函数的图像为分布函数的图像为19例4设随机变量X在(2,8)上服从均匀分布,求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率.解:方程有实根=4X236≥0X≥3或X≤3

8、由已知P{有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}202.指数分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为的指数分布。由上式可得X的分布函数为记作21xF(x)0xf(x)0概率密度函数的图像为分布函数的图像为22用指数分布描述的实例有：(1)随机服务系统中的服务时间(2)电话问题中的通话时间(3)电子元件的寿命(4)动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似23例5某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,概率密度为试求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率解:以Xi(i=1,2,3)

9、表示第i只元件的寿命,则Xi的概率密度为24以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初200小时内,第i只元件损坏”,则A1,A2,A3相互独立,且P(Ai)=P(0≤Xi≤200)(i=1,2,3)故所求概为:P(A1∪A2∪A3)=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)]=1e1253.正态分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为,的正态分布。记为X～N(,2)其中,(>0)为常数。26棣莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。在十九世纪前叶高斯(Gauss)又将正态分布加以

10、推广，所以正态分布也通常称为高斯分布。由密度函数可求得X的分布函数