连续型随机变量.ppt

《连续型随机变量.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2.４连续型随机变量R2m引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心X圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数.解:若x<0，则{X≤x}是一个不可由实际问题知,当x2时,能事件，于是P{Xx}1F(x)p{Xx}0从而得,k1/4若0≤x<2，由题意得F(x)P{Xx}所以，0,x02kx12若x≥2，则有F(x)x,0x24F(x)P{Xx}11,x2《概率统计》返回下页结束R2m引例.靶子

2、是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能X中靶.以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数.易证，F(x)是一个连续函数，可表示为xF(x)f(t)dtx,0x2其中f(x)20,其它引例中随机变量X具有下列特点：一是X可在某个区间内连续取值，二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示，具有这些特点的随机变量，即为连续型随机变量。《概率统计》返回下页结束§2.４连续型随机变量一、定义：设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，使得

3、xF(x)f(t)dt,x则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度。二、性质：（1）f(x)≥0(2)f(x)dx1《概率统计》返回下页结束§2.４连续型随机变量二、性质：b(3)P{aXb}f(x)dxa（4）在f(x)的连续点处有：abf(x)F'(x)F(xx)F(x)P{xXxx}f(x)limlimx0xx0x（5）连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0。F(x)为连续函数P{Xc

4、}0,{Xc}《概率统计》返回下页结束概率为0(1)的事件未必不发生(发生)由P(A)=0,不能推出A由P(B)=1,不能推出B=Ω由性质(5)可得：P{aXb}P{aXb}P{aXb}P{aXb}bf(x)dxa《概率统计》返回下页结束§2.４连续型随机变量例1.设随机变量X的密度函数为x2,ox1x2,ox12得：f(x),1x23f(x)A,1x20,其它0,其它333(2)P{0X}2f(x)dx求（1）常数A；(2)P

5、{0X};2203（3）分布函数F(x)。1222xdx2dx解:（1）由于f(x)是一个密度函数，0133由注:(1)若概率密度中含有待定常f(x)1,得数，可由f(x)dx1确定。1220xdx1Adx1(2)Ｘ取值于某区间的概率等于其密度函数在对应区间的积分。解得A=2/3《概率统计》返回下页结束例1.设随机变量X的密度函数为3x2,ox1求（1）常数A；(2)P{0X}22f(x),1x2（3）分布函数F(x)。30,其它说明：

6、注意分布函数的自变量取值范围的划分。xx当x<0时，F(x)f(t)dt0dt0;x0x123当0≤x＜1时，F(x)f(t)dt0dt0tdtx;3x012x221当1≤x＜2时，F(x)f(t)dt0dttdtdtx;01333x0122x2当x≥2时,F(x)f(t)dt0dttdtdt0dt10132《概率统计》返回下页结束0,x013x,0x13分布函数为F(x)21x,1x2

7、331,x2例2.设连续型随机变量的分布函数为2x1e,x0求：(1)X的密度函数f(x)；F(x)0,x0(2)P{1

8、F(x)axbba1,xbdd1dc由P{cXd}f(x)dxdxccbaba得：X落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关．《概率统计》返回下页结束f(x)abxF(x)abx《概率统计》返回下页结束例3.设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率。解：方程