连续型随机变量及分布.ppt

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1、概率论与数理统计§2.3连续型随机变量概率论与数理统计主要内容一、连续型随机变量的概念二、常见的连续型分布一、连续型随机变量的概念定义2.2如果对于随机变量的分布函数F(x)，存在非负函数p(x)，使得对于任意的实数x，有则称为连续型随机变量，其中函数p(x)称为的概率密度函数,简称概率密度（probabilitydensityfunction）.注：连续型随机变量由其密度函数唯一确定．1.定义xp(x)xF(x)分布函数与密度函数的几何意义由定义知道，概率密度p(x)具有以下性质：p(x)0x12.密度函数的性质（非负性）（规范性）反过来，定义在R上的函数p

2、(x)，如果具有上述两个性质，即可定义一个分布函数F(x)．(3)F(x)在R上连续，且在p(x)的连续点处，有对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律．(4)设为连续型r.v.,对任意的实数x有这表明连续型随机变量取个别值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出并不意味着是不可能事件．p(x)x0（5）对任意，有这一个结果从几何上来讲，落在区间中的概率恰好等于在区间上曲线y=p(x)的曲边梯形的面积．同时可发现整个曲线y=p(x)与x轴所围成的图形面积为1．连续型随机变量取值落在某一区间的

3、概率与区间的开闭无关例1设是连续型随机变量，其密度函数为解⑴由密度函数的性质知试求：1）常数c；2）分布函数F(x)；3）从而于是(2)(3)例2设是连续型随机变量，其密度函数为解⑴由密度函数的性质知试求：1）常数c；2）分布函数F(x)；3）从而于是(2)(3)于是当时，当时，例3设是连续型随机变量，其分布函数为试求密度函数.设密度函数为p(x)，则3、常见的连续型分布（1）.均匀分布则称服从区间[a,b]上的均匀分布.记为~U[a,b].若随机变量的密度函数为的分布函数为xp(x)abxF(x)ba密度函数的验证是密度函数.即落在(a,b)内任何长为d–c

4、的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的r.v.随机变量.应用场合均匀分布的概率背景例3解设A={方程有实根}，则若的d.f.为则称服从参数为的指数分布．记作的分布函数为>0为常数.（2）.指数分布1xF(x)0xp(x)0密度函数的验证是密度函数.对于任意的0

5、把指数分布称为“永远年轻”的分布.特点：指数分布的“无记忆性”事实上,命题例4假定打一次电话所用的时间（单位：分）服从参数的指数分布，试求在排队打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间（1）超过10分钟；（2）10分钟到20分钟之间的概率．解由题设知，故所求概率为(2)若的密度函数为（3）.正态分布则称服从参数为,2的正态分布．记作~N(,2)．亦称高斯(Gauss)分布（其中为常数，）p(x)所确定的曲线叫作正态曲线.正态概率密度函数的几何特征（6)当固定，改变的大小时，p(x)图形的形状不变，只是沿着x轴作平移变换；—位置参数—形状参数正态分布

6、的分布函数密度函数的验证由数学分析知识可知从而是密度函数.正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．⑵正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所

7、不具备的．⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布．正态分布下的概率计算原函数不是初等函数方法一:利用MATLAB软件包计算方法二:转化为标准正态分布查表计算一种重要的正态分布-------标准正态分布N(0,1)分布函数记为其值有专门的表供查.例5证明证明解例6对一般的正态分布：~N(,2)，其分布函数为正态分布标准化从而故设则例7设~N(1,4),求P(01.6)．解例8已知且P(2<<4)=0.3,求P(<0).解一所以故解二图解法由图0.20.3例93原理.设~N(,2),求解一次试验中,落入区间(-3,+3)的概率为0.9974,而

8、超出此区间可能性很小．由3原理知，当