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1、导数及其应用一、知识点梳理1.导数：当x趋近于零时，f(x0x)f(x0)趋近于常数c。可用符号“”记作：x当x0时，f(x0x)f(x0)c或记作limf(x0x)f(x0)c，符号“”xx0x读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作f(x)在xx0处的导数，并记作f(x0)。即f'(x0)limf(x0x)f(x0)x0x2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。即若点P(x0,y0)为曲线上一点，则过点P(x0,y0)的切线的斜率k切f'(x0)lim0f(x0x)f(x0)xx由于函数yf(x)在xx0处的导
2、数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因此，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得：（1）求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：yy0f'(x0)(xx0)3.导数的四则运算法则：1）(f(x)g(x))f(x)g(x)2）[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)3）g2(x)g(x)4.几种常见函数的导数：(1)C0(C为常数)(2)（xn）nxn1(nQ)(3)(sinx
3、)cosx(4)(cosx)sinx(5)(lnx)1(logax)1(6)logaexx(7)(ex)ex(8)(ax)axlna5.函数的单调性：在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减。6.函数的极值求函数f(x)极值的步骤:①求导数f(x)。②求方程f/(x)0的根.③列表；④下结论。7.函数的最大值和最小值（1）设yf(x)是定义在区间a,b上的函数，yf(x)在(a,b)内有导数，求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值，可分两步进行.①求yf(x)在(a,b)内的极值.②
4、将yf(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数f(x)在a,b上单调增加，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a,b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数f(x)取值为0的点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数f(x)x3的导数f(x)3x2，在点x0处有f(0)0，即点x0是f(x)x3的驻点，但从f(x)在,上为增函数可知，点x0不是f(x)的极值点.(2)在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、
5、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。（3）极大（小）值与最大（小）值的区别与联系二、典型例题解析：例1（1）若函数yf(x0h)f(x0h)f(x)在区间(a,b)内可导，且x0(a,b)则limh的h0值为（）A．f'(x0)B．2f'(x0)C．2f'(x0)D．0（2）已知曲线y1x3m的一条切线方程是y4x4，则m的
6、值为A.4328C.4或28D.2或13B.333333（3）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A．B．C．D．（4）已知函数f(x)ax3(2a1)x22，若x1是yf(x)的一个极值点，则a值为（）A．2B.-2C.2D.47例2．f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是2。解：当－1x0时，f(x)0，当0x1时，f(x)0，所以当x＝0时，f（x）取得最大值为2。点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数f(x)x3。例3：设函数f(x)=2x33(a1)x21,其中a1.（Ⅰ）求f
7、(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。解：由已知得f'(x)6xx(a1)，令f'(x)0，解得x10,x2a1。（Ⅰ）当a1时，f'(x)6x2，f(x)在(,)上单调递增；当a1时，f'(x)6xxa1，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(,0)0(0,a1)a1(a1,)f'(x)+00f(x)极大值极小值从上表可知，函数f(x)在(,0)上单调递增；在(0,a1)上单调递减；在(a1,)上单调递增。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a1时，函数f
