概率论与数理统计答案第4章.pdf

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1、概率论习题四解答习题4.11.一箱产品20件,其中5件优质品,不放回地抽样,每次一件,共抽取两次,设取到的优质品件数为X,求E(X).解:X的全部可能取值为0,1,2,2112C1510521C5C157515C5101P{X=0}===,P{X=1}===,P{X=2}===,219038219038219019C20C20C20⎛012⎞则X的分布列为X~⎜21151⎟,⎜⎟⎝383819⎠21151191故E(X)=0×+1×+2×==.3838193822.盒内有12个乒乓球,其中9个是新球,3个是旧球,采取不放回抽样,每次一个直到取到新球为止,求下列随机变量的数

2、学期望.(1)抽取次数X;(2)取到的旧球个数Y.解:(1)X的全部可能取值为1,2,3,4,933993299P{X=1}==,P{X=2}=×=,P{X=3}=××=,12412114412111022032191P{X=4}=×××=,1211109220⎛1234⎞则X的分布列为X~⎜3991⎟,⎜⎟⎝444220220⎠3991286故E(X)=1×+2×+3×+4×==1.3.444220220220(2)Y的全部可能取值为0,1,2,3,3991P{Y=0}=,P{Y=1}=,P{Y=2}=,P{Y=3}=,444220220⎛0123⎞则Y的分布列为Y~⎜

3、3991⎟,⎜⎟⎝444220220⎠399166故E(X)=0×+1×+2×+3×==0.3.4442202202203.随机变量X只取1,2,3共三个值,并且取各个值的概率不相等且组成等差数列,求E(X).解:设P{X=1}=a−d,P{X=2}=a,P{X=3}=a+d,由非负性知a≥0且

4、d

5、≤a,1由规范性知:P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=(a−d)+a+(a+d)=3a=1,得a=,31故E(X)=1×(a−d)+2×a+3×(a+d)=6a+2d=2+2d,

6、d

7、≤.34.设随机变量X的密度函数为⎧1⎪,

8、x

9、<1,f(x)=⎨π1−x2⎪⎩0,

10、

11、x

12、≥1,1求E(X).111+∞11112−21212解:E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅dx=∫(1−x)⋅d(x)=−(1−x)2=0.−∞−1π1−x2−1π2π−15.连续型随机变量X的密度函数为⎧a<0,又知E(X)=0.75,求k和a的值.1a+1+∞1axk解:由规范性知,∫f(x)dx=∫kxdx=k⋅==1,−∞0a+1a+101a+2+∞1axk又知E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅kxdx=k⋅==0.75,−∞0a+2a+20故k=3,a=2.1226.设随机变量X的概率分布为P{X=k}=

13、,k=1,2,3,4,5.求E(X),E(X)及E[(X+2)].51111122121212121解:E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3,E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=11,555555555522121212121E[(X+2)]=3×+4×+5×+6×+7×=27.555557.设随机变量X的密度函数为⎧−xe,x>0,f(x)=⎨⎩0,x≤0,−2X求E(X),E(2X),E(e).+∞+∞−x+∞−x−x+∞+∞−x−x+∞解:E(X)=∫−∞xf(x)dx=∫xedx=∫x(−de)=−xe+∫edx=0+(−e)=1,00000+∞+∞−x

14、E(2X)=∫2xf(x)dx=2∫xedx=2,−∞0+∞−2X+∞−2x+∞−2x−x+∞−3x1−3x1E(e)=∫−∞ef(x)dx=∫0e⋅edx=∫0edx=−e=.3308.球的直径测量值X在(a,b)上均匀分布,求球体积V的数学期望.⎧1⎪,a

15、有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立,且红或绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车未遇到红灯而连续通过的路口1数,求X的概率分布以及E().1+X注:此题X应理解为首次遇到红灯前而连续通过的路口数.2解:设X表示未遇红灯而连续通过的路口数,X的全部可能取值为0,1,2,3,23P{X=0}=0.5,P{X=1}=0.5×0.5=0.25,P{X=2}=0.5×0.5=0.125,P{X=3}=0.5=0.125,⎛0123⎞故X的分布列为X~⎜⎟;⎜⎟⎝0.50.250.1250.125⎠111

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