概率论与数理统计答案第4章

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1、概率论习题四解答习题4.11．一箱产品20件，其中5件优质品，不放回地抽样，每次一件，共抽取两次，设取到的优质品件数为X，求E(X)．解：X的全部可能取值为0,1,2，2112C1510521C5C157515C5101P{X=0}===，P{X=1}===，P{X=2}===，219038219038219019C20C20C20⎛012⎞则X的分布列为X~⎜21151⎟，⎜⎟⎝383819⎠21151191故E(X)=0×+1×+2×==．3838193822．盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个是旧球，采取不放回抽样，

2、每次一个直到取到新球为止，求下列随机变量的数学期望．（1）抽取次数X；（2）取到的旧球个数Y．解：（1）X的全部可能取值为1,2,3,4，933993299P{X=1}==，P{X=2}=×=，P{X=3}=××=，12412114412111022032191P{X=4}=×××=，1211109220⎛1234⎞则X的分布列为X~⎜3991⎟，⎜⎟⎝444220220⎠3991286故E(X)=1×+2×+3×+4×==1.3．444220220220（2）Y的全部可能取值为0,1,2,3，3991P{Y=0}=，P{Y=1

3、}=，P{Y=2}=，P{Y=3}=，444220220⎛0123⎞则Y的分布列为Y~⎜3991⎟，⎜⎟⎝444220220⎠399166故E(X)=0×+1×+2×+3×==0.3．4442202202203．随机变量X只取1,2,3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求E(X)．解：设P{X=1}=a−d，P{X=2}=a，P{X=3}=a+d，由非负性知a≥0且

4、d

5、≤a，1由规范性知：P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=(a−d)+a+(a+d)=3a=1，得a=，31故E(X)=1×(a−d)+2×

6、a+3×(a+d)=6a+2d=2+2d，

7、d

8、≤．34．设随机变量X的密度函数为⎧1⎪,

9、x

10、<1,f(x)=⎨π1−x2⎪⎩0,

11、x

12、≥1,1求E(X)．111+∞11112−21212解：E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅dx=∫(1−x)⋅d(x)=−(1−x)2=0．−∞−1π1−x2−1π2π−15．连续型随机变量X的密度函数为⎧a<0，又知E(X)=0.75，求k和a的值．1a+1+∞1axk解：由规范性知，∫f(x)dx=∫kxdx=k⋅==1，−∞0a+1a+

13、101a+2+∞1axk又知E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅kxdx=k⋅==0.75，−∞0a+2a+20故k=3,a=2．1226．设随机变量X的概率分布为P{X=k}=，k=1,2,3,4,5．求E(X),E(X)及E[(X+2)]．51111122121212121解：E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3，E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=11，555555555522121212121E[(X+2)]=3×+4×+5×+6×+7×=27．555557．设随机变量X的密度函数为⎧−xe,x>0,f(x)=⎨

14、⎩0,x≤0,−2X求E(X),E(2X),E(e)．+∞+∞−x+∞−x−x+∞+∞−x−x+∞解：E(X)=∫−∞xf(x)dx=∫xedx=∫x(−de)=−xe+∫edx=0+(−e)=1，00000+∞+∞−xE(2X)=∫2xf(x)dx=2∫xedx=2，−∞0+∞−2X+∞−2x+∞−2x−x+∞−3x1−3x1E(e)=∫−∞ef(x)dx=∫0e⋅edx=∫0edx=−e=．3308．球的直径测量值X在(a,b)上均匀分布，求球体积V的数学期望．⎧1⎪,a

15、(x)=⎨b−a且球体积V=πX，⎪⎩0,其他,3b444+∞434πb314πxπ(b−a)π3223则E(V)=∫πxf(x)dx=∫x⋅dx=⋅==(b+ab+ab+a)．−∞33ab−a3(b−a)43(b−a)3a9．一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红或绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车未遇到红灯而连续通过的路口1数，求X的概率分布以及E()．1+X注：此题X应理解为首次遇到红灯前而连续通过的路口数．2解：设X表示未遇红灯而连续通过的路口数

16、，X的全部可能取值为0,1,2,3，23P{X=0}=0.5，P{X=1}=0.5×0.5=0.25，P{X=2}=0.5×0.5=0.125，P{X=3}=0.5=0.125，⎛0123⎞故X的分布列为X~⎜⎟；⎜⎟⎝0.50.250.1250.125⎠111