概率论与数理统计第1章习题答案

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1、4.设A,B,C是三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率.解=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)广义加法定理所求概率为P(A∪B∪C)P(AB)=P(BC)=0AB=BC=由于ABCAB,或ABCBCP(ABC)P(AB)=0非负性0P(ABC)=0P(A∪B∪C)=3(1/4)-(1/8)=5/8若P(A∪B∪C)=P(B∪(A∪C))=P(B)+P(A∪C)-P(B(A∪C))P(A∪C)=P(A)+

2、P(C)-P(AC)P(B(A∪C))=P(BA∪BC)=P(BA)+P(BC)-P((BA)(BC))=P(AB)+P(BC)-P(ABC)仍有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词.若从26个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成上述单词的概率.解基本事件是从26个英文字母中任取两个不相同的字母排成单词,这实际上是排列问题,故基本事件总数所求的55个由两个不相同的字母组成单词的事件A包含基本事件数nA=55.故所求概率某油漆公司发

3、出17桶油漆,其中白漆10桶,黑漆4桶,红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到定货的概率是多少?解基本事件是从17桶油漆中任取9桶,这实际上是组合问题,取出的9桶油漆中有4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆的事件A分三步完成:先从10桶白漆中取出4桶,有种取法,再从4桶黑漆中取出3桶,有种取法,最后从3桶红漆中取出2桶,有种取法,故故所求概率5.7.(2)恰有k个次品的概率至少有2个次品,则可能是2个,3个,…,200个次品,按加法定理至少有2个次品的概率简单的方法

4、是利用其逆事件,少于2个次品,即恰有1个次品或没有次品,从而在1500个产品中有400个次品,1100个正品.任取200个.(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率.解基本事件是从1500个产品中取200个,基本事件总数n=(1)从400个次品中取90个,1100个正品中取110个的事件总数故恰有90个次品的概率8.10.在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7张,求其排列结果为ability的概率.解法一:基本事件是从11张卡片中任意连抽7张进行排列故基本事件总数为排列数从11张卡片中抽出字母的方

5、式有a1b2i2l1i1t1y1=4种故所求概率法二:利用条件概率和乘法公式设a,b,i,l,i,t,y分别表示从11张卡片中抽出写有该字母的卡片的事件.则P(ability)=P(a)P(b

6、a)P(i

7、ab)P(l

8、abi)P(i

9、abil)P(t

10、abili)P(y

11、abilit)==14.19(1)已知P(A)=1/4,P(B

12、A)1/3,P(A

13、B)=1/2,求P(A∪B).P(AB)=P(A)P(B

14、A)=P(B)P(A

15、B)故因此解P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋

16、中装有N只白球,M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少?解设事件B表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋”则事件B表示“从甲袋中取出一只红球放入乙袋”事件A表示“从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白球”.按全概率公式P(A)=P(B)P(A

17、B)+P(B)P(A

18、B)16.据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病

19、孩子得病}=0.5,P{父亲得病

20、母亲及孩子得病}=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.解设事件A={孩子得病},B={

21、母亲得病},C={父亲得病}已知P(A)=0.6,P(B

22、A)=0.5,P(C

23、AB)=0.4,要求的是P(ABC).法一:直接用乘法公式P(ABC)=P(A)P(B

24、A)P(C

25、AB),而P(C

26、AB)=1-P(C

27、AB)=0.6法二:由于AB=ABS=AB(C∪C)=(ABC)∪(ABC),故P(AB)=P(ABC)+P(ABC),从而有P(ABC)=P(AB)-P(ABC),而P(ABC)=P(A)P(B

28、A)P(C

29、AB)=0.60.50.4=0.12,P(AB)=P(A)P(B

30、A)=0.60.5=0.3,因此P(ABC)=0.3-

31、0.12=0.18故P(ABC)=0.60.50.6=0.18且ABC与ABC互不相容,17.已知在10只产品中有2只