概率论与数理统计答案第3章

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1、概率论习题三解答习题3.11．试给出二维随机变量的实例．（略）2．判断二元函数⎧1,x+y≥0,F(x,y)=⎨⎩0,x+y<0,是否为某个二维随机变量(X,Y)的联合分布函数？解：因F(1,1)=F(1,−1)=F(−1,1)=1，F(−1,−1)=0，则F(1,1)−F(1,−1)−F(−1,1)+F(−1,−1)=−1<0，故F(x,y)不满足联合分布函数的基本性质，不能成为某个二维随机变量(X,Y)的联合分布函数．3．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为⎧−−x−−y+−x−y≥≥1222,x0

2、,y0,F(x,y)=⎨⎩0,其他,试求X与Y的边缘分布函数FX(x),FY(y)，以及概率P{1

3、．一口袋中有4个球，上面分别标有数字1,2,2,3，从该袋中任取一球，不放回，再从该袋中任取一球，用X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上的数字，求二维随机变量(X,Y)的联合分布律．解：X、Y的全部可能取值都是1,2,3，121111有P{X=1,Y=1}=0，P{X=1,Y=2}=×=，P{X=1,Y=3}=×=，4364312111111111P{X=2,Y=1}=×=，P{X=2,Y=2}=×=，P{X=2,Y=3}=×=，236236236111121P{X=3,Y=1}=×=，P{X=3,Y=2

4、}=×=，P{X=3,Y=3}=0，4312436故(X,Y)的联合分布律为Y123X1110612．111266611301262．一盒中装有2只白球，3只黑球，现进行有放回摸球，每次1球．用X表示第一次摸出的白球数，用1Y表示第二次摸出的白球数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布律与X及Y的边缘分布律．解：X、Y的全部可能取值都是0,1，2223有P{X=0,Y=0}=×=0.16，P{X=0,Y=1}=×=0.24，55553233P{X=1,Y=0}=×=0.24，P{X=1,Y=1}=×=0.36

5、，5555故(X,Y)的联合分布律与X及Y的边缘分布律为Y01pi⋅X00.160.240.4．10.240.360.6p⋅j0.40.603．在上题中采用不放回摸球方式，求二维随机变量(X,Y)的联合分布律与X及Y的边缘分布律．解：X、Y的全部可能取值都是0,1，2123有P{X=0,Y=0}=×=0.1，P{X=0,Y=1}=×=0.3，54543232P{X=1,Y=0}=×=0.3，P{X=1,Y=1}=×=0.3，5454故(X,Y)的联合分布律与X及Y的边缘分布律为Y01pi⋅X00.10.30

6、.4．10.30.30.6p⋅j0.40.604．设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为Y01X01−p010p求(X,Y)的联合分布函数．解：x、y的分段点都是0,1，当x<0或y<0时，F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P(∅)=0，当0≤x<1且0≤y<1时，F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X=0,Y=0}=1−p，当0≤x<1且y≥1时，F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=1−p，当x≥1且0≤y<1时，F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X

7、=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=1−p，当x≥1且y≥1时，F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P(Ω)=1，故(X,Y)的联合分布函数为⎧0,x<0或y<0,⎪F(x,y)=⎨1−p,0≤x<1,0≤y<1或0≤x<1,y≥1或x≥1,0≤y<1,⎪⎩1,x≥1,y≥1.5．X表示随机地在1,2,3,4中取出的一个整数值，Y表示在数1至数X中随机地取出的一个整数值，求(X,Y)的联合分布律．解：X、Y的全部可能取值都是1,2,3,4，211有P{X=1,Y=1}=×1=，P{X=1,Y=2}=P{X

8、=1,Y=3}=P{X=1,Y=4}=0，44111P{X=2,Y=1}=P{X=2,Y=2}=×=，P{X=2,Y=3}=P{X=2,Y=4}=0，428111P{X=3,Y=1}=P{X=3,Y=2}=P{X=3,Y=3}=×=，P{X=3,Y=4}=0，4312111P{X=4,Y=1}=P{X=4,Y=2}=P{X=4,Y=3}=P{X=4,Y=4}=×=，4416故(X,Y)的联合分布律为Y1234X1