大学课件 高等数学 下学期 6-4(平面的方程).ppt

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1、第四节平面及其方程下面我们将以向量作为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面——平面。平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角点到平面的距离定义：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量(法向量）．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知设平面上的任一点为必有一、平面的点法式方程一块平面可以有许多法向量.平面的点法式方程平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，故上述方程就是平面的方程．其中法向量已知点例解解1所求平面方程为即例解2例即所求平面方程为由平面的点法式方程二、平面的一般方程即任何一个平面都可以用上述三元一次方程

2、来表示。反过来，设有：：平面的一般方程显然（1）与（3）同解，即（1）也表示一个平面。二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.即所求平面方程为解设这个平面方程为设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程得平面的截距式方程今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.并作图.?化为截距式方程,设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解化简得令代入体积式所求平面方程为求平面方程常用两种方法:利用条件

3、定出其中的待定的常数,此方法也称待定常数法.主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程.定义（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角两平面的夹角.按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//两平面垂直、平行的充要条件取锐角例研究以下各组里两平面的位置关系:解两平面相交,夹角两平面平行但不重合.两平面平行两平面重合解解两平面平行例解所求方程的三点式为三点的平面方程为设两平面的交角为则设平面为所求平面方程为解例求与平面垂直且过原点及点的平面方程与平面垂直且过原点及点的平面方程为

4、().解∥平面的点法式方程点到平面的垂直距离外一点,四、点到平面的距离并作向量即由于的距离公式为点到平面距离公式填空解解例求这平面方程.设所求平面为在已知平面上任取一点或故所求平面为或平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）四、小结