大学课件 高等数学 下学期 9-2(第二型曲线积分).ppt

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1、第二型曲线积分一、引例：变力做功问题二、第二型曲线积分的概念与性质三、第二型曲线积分的计算法四、两类曲线积分的关系常力沿直线所作的功分割？一、引例变力做功问题求和取极限取近似取即近似值精确值1.定义设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑用L上的点:把L分成n个有向小弧段曲线弧,在L上有界.上任意取定的点.二、第二型曲线积分的概念和性质如果当各小段长度的最大值的极限总存在,记作则称此极限为函数在有向曲线弧L上或称第二型曲线积分.对坐标x的曲线积分,即类似地定义称在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.2.存在条件在光滑曲线弧L上3.组合形式“点

2、积”形式第二类曲线积分存在.连续,其中4.物理意义⌒⌒⌒⌒5.推广空间有向曲线弧Γ,6.性质LL1L2对坐标的曲线积分与(1)则(2)有向曲线弧,则曲线的方向有关.对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、第二型曲线积分的计算思想是因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算.上限是终点的坐标.定理连续,且特殊情形(1)(2)则则(3)推广例1解问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为解化成参数式方程为于是例2A点对应B点对应例3(1)L是上半圆周反时针方

3、向;解A点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.(1)中L的参数方程为B点对应其中原式=(2)L的方程为原式=(2)L是x轴上由点到点的线段.其中例4解例5解补充在分析问题和算题时常用的L在上半平面部分与P(x,y)为P(x,y)为其中L1是曲线L的上半平面的部分.类似地,对称性质对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于下半平面部分的走向相反时,x轴对称,则y的偶函数y的奇函数的讨论也有相应的结论.对例6直接化为定积分计算,取逆时针方向.解法一由曲线积分的性质.则其中ABCDA为将原式分成两部分,即曲线关于的走向与L在下半部分的走向相反

4、,法二被积函数为利用对称性质,L在上半部分x轴对称,y的偶函数.原式曲线关于L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为所以,y轴对称,x的偶函数.其中四、两类曲线积分的关系可用向量表示有向曲线元则推广空间曲线第一型曲线积分的概念第一型曲线积分的计算四、小结四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为定积分计算第一型曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质注意:第一型曲线积分的性质