第二型曲线积分.ppt

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1、第二型曲线积分TheLineIntegralswithRespecttoCoordinateVariables第二型曲线积分与曲面积分®两型线面积分的三点根本差异：作为用积分来研究的整体量的物理背景不同，二型线面积分涉及场论；第一型线面积分的ds、dS不考虑方向，并总取非负值；第二型线面积分则不同，曲线要定向,曲面要定侧,且微元是向量dseds,dSedSn被积函数：第一型积分为数量值函数的积分zf(x,y),或uf(x,y,z),第二型为向量值函数(不排除有的分量为零)：A(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)

2、jR(x,y,z)k一、第二型曲线积分1.物理背景与概念典型问题——“力场沿曲线C的作功问题”.设场力(向量值函数)：F(x,y,z){P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}3(x,y,z)(曲线)CR求场力F(x,y,z)沿曲线C从A到B所作的功。ABl分四步解：nA细分n1skAk1AkAk1AkAk{xx,yy,zz}kk1kk1kk1F(M)kA{x,y,z}k1kkkA记dmax{s}1k1knAA0近似代替WF(M)skkkP(M)xQ(

3、M)yR(M)zkkkkkk求和(得总功近似值)nnWWkF(Mk)skk1k1取极限令d0(得总功精确值)nWlimF(Mk)skFdsd0k1ABl二型线积分概念的一般表示nAdslimA(Mk)skd0C(定向)k1P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzC®w有向线段C分段光滑并可求长，A(M)在C上有定义；w第二型曲线积分是对坐标的线积分；w被积表达式是两向量的点积，A(M)可以有一个或两个分量为零，如2R中AdsP(x,y)dx

4、Q(x,y)dyCC或CP(x,y)dx，CQ(x,y)dy3R中AdsP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzCC或P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dy，CCP(x,y,z)dx,CR(x,y,z)dz都是第二型曲线积分。2.第二型曲线积分性质AAdsAdsABBA设A,B,P为曲线C上任意三点，则BAdsAdsAdsABAPPBP对于二型环路积分CAdsCAdsA1MCC2AdsC2BC1N3.第二型曲线积分的计算法

5、l第二型曲线积分的基本计算法也是通过转化为定积分进行计算的。设曲线C已给定方向，其参数方程为C:rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k参数t：(对应始点)(对应终点).则二型线积分有计算式AdsP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzCC定向P[x(t),y(t),z(t)]x(t)dtQ[x(t),y(t),z(t)]y(t)dtR[x(t),y(t),z(t)]z(t)dt®计算式中可能只出现一、二项，但仍是二型线积分，不是定积分；对应始终点的上下限,并

6、非一定是；曲线C若给其它形式的方程，只要全力找出它的等价参数方程，问题即可迎刃而解。2例1计算Iyzdxxzdy2zdz其中CC为螺旋线xacost,yasint,zkt上对应t0至t的有向弧段。解2Iyzdxxzdy2zdzCasintkt(asint)dt022acostkt(acost)dt2ktkdt002322233(akt2kt)dtakk03例2计算Ixydx(yx)dy其中C(1)C为折线段y11x,(0x2),方向

7、从B(2,0)A(1,1)O(0,0)；(2)沿x轴由B(2,0)O(0,0).y11x,yA(1,1)解(1)对折线:(0x2)yxy2x应该分段考虑，xxOy0,dy0xBA:x:从21,1B(2,0)y2xxxAO:x:从10,于是，yxIxydx(yx)dyBAO1yA(1,1)[x(2x)(2xx)(1)]dx20yxy2xBA[xx(xx)]dx1AOOy0,dy0x101B(2,0)22(x4x2)dxxdx

8、221(2)沿x轴由B(2,0)O(0,0).Ixydx(yx)dyBO0x0dx002例3计算I(xy)dx(xy)dy其中L为AB(1)从A(1,0)沿上半单位圆至B(0,