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1、§1第一型曲线积分二、第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的定义返回一．第一型曲线积分的定义上的连续函是定义在设某物体的密度函数数当是直线段时,应用定积分就能计算得该物体的质量.现在研究当是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.(2)近似求和：在每一个上任取一点由于(1)分割：把分成个可求长度的小曲线段上的连续函数,故当的弧长都很小时,每一小段的质量可近似地等于其中为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式(3)当对的分割越来越细密(即)时,上述和式的极限就应是该物体的
2、质量.由上面看到,求物质曲线段的质量,与求直线段的质量一样,也是通过“分割、近似求和、取极限”来得到的.下面给出这类积分的定义.个可求长度的小曲线段的弧长,它把定义在上的函数.对曲线做分割分成记为分割的细度为在上任取一点若有极限为平面上可求长度的曲线段,定义1设为且的值与分割的取法无关,则称此极限为上的第一型曲线积分,记作为空间可求长曲线段,若为定义在上的函数,则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分,并且记作于是前面讲到的质量分布在曲线段上的物体的质量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得.1.若
3、在为常数,则也存在,且2.若曲线段由曲线首尾相接而成,都存在,则也存在,且3．都存在,且在则4．也存在,且5．存在,的弧长为则存在常数使得6.第一型曲线积分的几何意义为L若为坐标平面上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义,易见以为准线,母线平行于轴的柱面上截取的部分的面积就是二．第一型曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线为定义在上的连续函数,则证由弧长公式知道,上由的弧长的连续性与积分中值定理,有所以这里则有令现在证明因为复合函数连续,所以在闭区间上有界,即存在常数使对一切都有
4、再由上连续,所以它在上一致连续,即对任给的使当时,从而所以因此当在(4)式两边取极限后,即得所要证的(3)式.上有连续的导函数时,(3)式成为再由定积分定义当曲线由方程表示,且在上有连续导函数时,(3)式成为例1设是半圆周试计算第一型曲线积分解当曲线L由方程表示,且在例2一段(图20-2),试计算第一型曲线积分解由参仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2),当曲线量方程表示时,其计算公式为:例3计算其中为球面被平面所截得的圆周.解由对称性知所以*例4计算其中为内摆线解由对称性知其中*例5求圆柱面被圆
5、柱面所而内摆线的参数方程为因此包围部分的面积A.解图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,它的面积为把平面上的位于第一象限的四分之一圆周记为,则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线L为准线母线平行于z积分的几何意义可知它的面积为的那部分柱面.由第一型曲面轴的L的参数方程为:因此,定义,线密度为的曲线状物体对于x,y轴的转动惯量分别为注由第一型曲线积分的例6求线密度为的曲线段对于y轴的转动惯量.解和
