第二型曲线积分的定义

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1、§2第二型曲线积分首页×一、第二型曲线积分的定义变力沿曲线作功.设一质点受如下变力作用沿曲线L从点A移动到点B，求力F(x,y)所作的功常力沿直线作功：力·位移1.分割:2.近似代替其中分别是曲线段在x轴与y轴上的投影（此投影不一定是非负的）于是插入分点首页×4.取极限3.求和其中是第i个小弧段的弧长.首页×定义1设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L:对L的任一分割T它把L分成n个小曲线段：其中M0=A，Mn=B.记各小曲线段的弧长为分割T的细度分点Mi的坐标为(xi,yi),并记在每个

2、小曲线段上任取一点若极限首页×存在，则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y),沿有向曲线L的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为或也记为或简记为首页×若L为封闭曲线，则记为若记则记于是，力沿有向曲线L对质点所作的功为首页×类似地,沿空间有向可求长度曲线L的第二型曲线积分记为其中首页×第二型曲线积分与曲线L的方向有关，对同一曲线，当方向由A到B改为由B到A时，每一小曲线段的方向都改变，从而小曲线段的投影也随之改变符号，故有而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线L的方向无关.这是两类

3、曲线积分的一个重要区别.首页×第二型曲线积分的性质1.若第二型曲线积分存在，则其中为常数.首页×2.若L可分成k条有向光滑曲线弧则定积分是第二类曲线积分的特例.说明对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!首页×在有向光滑曲线上连续,t=α对应曲线L的起点t=β对应于曲线L的终点，则二、第二型曲线积分的计算首页×对空间有向光滑曲线L:参数t=α对应曲线L的起点t=β对应于曲线L的终点，则首页×例1计算其中L分别沿如图所示路线⑴直线AB解直线AB的参数方程为所以首页×例1计算其中L为⑵ACB(抛物线：y=2(x–1

4、)2+1)解抛物线ACB的方程为所以y=2(x–1)2+1首页×例1计算其中L为⑶ADBA(三角形周界)解直线AD的参数方程为所以直线DB的参数方程为所以首页×沿直线BA的线积分：所以首页×例2计算这里L：⑴沿抛物线y=2x2,从O到B解⑴⑵沿直线段OB:y=2x;⑶沿封闭曲线OABO⑵⑶首页×例3计算第二型曲线积分L是螺旋线：x=acost,y=asint,z=bt从t=0到t=π上的一段.首页×例.设在力场作用下,质点由沿L移动到解(1)(2)L的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中L为首页×例.求其中从

5、z轴正向看为顺时针方向.解取的参数方程首页×三、两类曲线积分的联系设L为从A到B的有向光滑曲线，以弧长s为参数，的参数方程为其中l为曲线L的长度.设曲线L上每一点的切线方向则L切向量的方向余弦为指向弧长增加的一方.首页×于是两类曲线积分有如下联系即其中是曲线L切向量的方向余弦.首页×在三维空间上，有其中是曲线L切向量的方向余弦.首页×1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结首页×3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧首页×4.两类曲

6、线积分的联系•对空间有向光滑弧:首页×