CH112第二型曲线积分

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1、第二节一、第二型曲线积分的概念与性质二、第二型曲线积分的计算法第二型曲线积分第十一章一、第二型曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,

2、都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,第二型曲线积分与曲线L的方向有关，对同一曲线，当方向由A到B改为由B到A时，每一小曲线段的方向都改变，从而小曲线段的投影也随之改变符号，故有而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线L的方向无关.这是两类曲线积分的一个重要区别.定积分是第二类曲线积分的特例.对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!定理:

3、在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有二、对坐标的曲线积分的计算法特殊情形例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结3.计算•对有向光

4、滑弧•对有向光滑弧•对空间有向光滑弧:1.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:思考与练习2.设曲线C为曲面与曲面从Ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)(2)原式=令利用“偶倍奇零”