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1、第5讲二次函数轨迹问题本讲内容本讲目标：明确本讲的知识点及考法，了解考试频率，并通过对应例题对该讲知识进行掌握．教学目标：2＋3记忆教学模式2个知识点1.抛物线特殊点的轨迹问题2.焦点与准线3个考点模块考点对应例题抛物线特殊点的轨迹问题1.抛物线顶点轨迹例12.中点的轨迹问题例2焦点与准线3.焦点与准线例3、例4、例5、例6模块一抛物线特殊点轨迹问题题型一抛物线顶点的轨迹例1.（1）已知抛物线y＝－4ax＋4＋a－1，当实数a变化时，抛物线的顶点D都在某条直线l上，求直线l的解析式.解：∵y＝－4ax＋4＋a－1＝＋a－
2、1，∴D(2a，a－1).∵抛物线的顶点D都在某条直线l上，∴直线l的解析式为：y＝x－1.（2）已知抛物线：y＝＋2ax＋2x－a＋1，当实数a变化时，抛物线的顶点D都在某条抛物线上，求抛物线的解析式.解：∵：y＝＋2ax＋2x－a＋1＝－－a＋1，∴D(－a－1，－－a＋1).∵抛物线的顶点D都在某条抛物线上，∴抛物线的解析式为：y＝－＋x＋2.练习（1）已知抛物线y＝－＋2ax－的顶点为P，当a变化时，点P总在直线l上.求直线l的解析式；解：∵y＝－＋2ax－＝－＋4a－4，∴P(a，4a－4).∵当a变化时，点P
3、总在直线l上，∴直线l的解析式为：y＝4x－4.（2）已知，直线：y＝x，抛物线：y＝a＋6ax＋7a的顶点A在直线上.求抛物线的解析式.解：∵：y＝a＋6ax＋7a＝a－2a，∴A(－3，－2a).∵点A在直线上，∴－2a＝×(－3)，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝＋6x＋7.题型二中点的轨迹问题例2.如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线：y＝交于A、B两点.（1）直线AB总经过一个定点C，请求出点C坐标；（2）若k＝－2，点D在直线AB上，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，P是线段DE的中点，设点D在直
4、线AB上运动时，P的运动轨迹为抛物线，求抛物线的解析式.解：（1）∵y＝kx＋2k＋4＝k(x＋2)＋4,令x＋2＝0，则x＝－2，y＝4，∴C(－2,4).（2）当k＝－2，y＝－2x，设D(m，－2m)，则E(m，)，P(m，－m)，∴y＝－x.练习（1）如图，抛物线y＝－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在直线BC上，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，G是线段PQ的中点，求点G的轨迹的解析式.解：易知B(3，0)，C(0，－3)，可求BC解析式为y＝x－3.设P(m，m－3)，则Q(m，－2m－3)
5、，G(m，－m－3)，∴y＝－x－3.（2）如图，N为抛物线：y＝－＋8上一动点，点M（2，0）在x轴上，Q为线段MN的中点，设点N在抛物线上运动时，Q的运动轨迹为抛物线，求抛物线的解析式.解：设N(m，－＋8)，则M(2，0),Q(＋1，－＋4)，：y＝－2＋4x＋2.模块二焦点与准线知识导航抛物线的定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.例3（1）如图，抛物线y＝的焦点F（0，），准线l的解析式为y＝－，求证：抛物线y＝上任意一点P到点F的距离等于它到
6、直线l的距离，即PF＝PH.解：设P(x，)，则＝＋＝，＝＝，∴＝，∴PF＝PH.（2）已知点M(2，3），F（0，），点P（m，n）为抛物线y＝上一动点，则用含m的式子表示PF＝；PF＋PM的最小值是.设P(m，)，则＝＋＝，∴PF＝.练习将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，y轴上是否存在定点F，使得抛物线上任意一点P到x轴的距离与PF的长总相等？若存在，求出点F的坐标；(3)如图2，D为抛物线的顶点，P为抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，连
7、接DP，求PH＋PD的最小值及此时点P的坐标．图1图2【解】(1)抛物线的解析式；(2)点F的坐标（0,2）.作PH⊥x轴于H,设得抛物线上点P（x，），则.即PF＝PH.(3)由(2)PH＝PF,∴PH＋PD＝PF＋PD,∴当F,P,D在一直线上的,PF＋PD值最小,即PH＋PD最小.此时∵F(0,2),D(4,3),∴最小值为PF＝,又直线DF为，由，得，∴点P(,).例4.如图1,P(m,n)是抛物线上任意一点,l是过点(0,－2)且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l于点H．(1)填空：m＝0时，OP＝____
8、__________，PH＝_____________；当m＝4,OP＝____________，PH＝____________.(2)对任意点P,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想；(3)如图2,若A、B是抛物线上的两个动点且AB＝6,求A、B两点到直线l的距离之和的最小值.图1图2【解】(1)OP＝1,PH
