第 38 讲 轨迹问题

《第 38 讲 轨迹问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第38讲轨迹问题（第课时）神经网络准确记忆！轨迹问题重点难点好好把握！重点：1．掌握轨迹方程的意义和求解步骤；2．掌握求轨迹方程的基本方法。难点：1．灵活选择恰当的方法；2．去掉不合题意的点。考纲要求注意紧扣！1．掌握求轨迹方程的基本方法；2．灵活选择恰当的方法或交叉使用多种方法求轨迹方程。命题预测仅供参考！多以综合题的面目出现。考点热点一定掌握！1．曲线的方程与方程的曲线曲线的方程：在坐标平面内的曲线，方程，如果有：①曲线上所有点的坐标都满足方程；②坐标满足方程的所有点，都在曲线。那么把方程叫做曲线的方程，而把曲线叫做方程的曲线。

2、这样研究曲线的几何问题就可以转化为研究这曲线方程的代数问题了。2．求曲线的轨迹方程的步骤⑴建立适当的坐标系，设曲线上的任一点坐标为；⑵由曲线上的点应该满足的条件列出等式并化简得出方程；⑶证明所得的方程是这曲线的方程。注意：区分题目的要求是“求轨迹方程”还是“求轨迹”，对于后者，在求出轨迹方程以后，还要进一步指出方程所表示的曲线的类型。当所求的轨迹不是整条曲线时，应该指明是曲线的那一部分。3．求曲线的轨迹方程的方法求曲线的轨迹方程常用的方法有：直接法，待定系数法，转移法，交轨法，参数法。⑴直接法所谓直接法，就是根据动点满足的几何条件或

3、者等量关系，直接列出包含已知量和动点坐标的等式，化简后就是所求的轨迹方程。例．平面上有定长线段，动点到的距离是到的距离的二倍。求点的轨迹方程。解：在线段上取一点，使。以为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系。设(,0)、(,0)、，∵,即，故所求的轨迹方程为。点评：本题使用直接法。⑵待定系数法（也叫定义法）如果根据题目的条件可以判别轨迹的类型与形式时，可以根据曲线的各种标准方程写出轨迹方程。有时需要先在方程中使用系数，然后再根据题条件求出系数。例．设椭圆的中心在原点，椭圆在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点和长轴上较

4、近的那个顶点的距离是，求椭圆方程。解：设椭圆长轴为，焦距为，顶点为、、、，根据椭圆的标准方程可知⑴，由已知有，∴⑵，由⑴⑵得，解之得，，故所求的椭圆方程为。例．抛物线的内接三角形的一个顶点在原点，三边上的高都通过抛物线的焦点，求此三角形外接圆的方程。解：设所求的方程为，已知原点在圆上，则上面方程的常数项，故所求的方程为，又已知圆过、及，∴，，又∵，∴，∵焦点坐标为，∴，解之得，，把、的坐标代入圆的方程，求得，，故所求的方程为。⑶转移法（也叫代入法）如果动点依赖于已知曲线上的另一点而运动，且点的坐标也可以用动点的坐标来表示，那么只需把

5、点的坐标用来表示后再代入已知曲线的方程，所得即为动点的轨迹方程。所谓“转移”就是把的坐标通过点转移到曲线的方程中去。例．已知圆及点(4，0)，当点在已知圆周上移动时，求线段中点的轨迹方程。解：设动点的坐标为，根据中点公式可得点的坐标为，∵点在圆上，∴点坐标应适合圆得方程，把点坐标代如圆方程得，即，（这是之间的关系，也就是点运动时需要满足的条件，当然就是点的轨迹方程）故所求的轨迹方程为。点评：习惯上写轨迹方程时，、一般不带下标，所以最后的结果要去掉下标。⑷交轨法假若能够确定动点同时在两条曲线上，可以利用这两条曲线的方程，消去参数得出所

6、求的轨迹方程。有时可能需要自行添加一条曲线以造成能使用此法的条件。例．过点(，)作圆的任意割线，交圆于、两点，求的中点的轨迹。解：如图，连接，则，点可以看成动直线与动直线的交点。的方程为，的方程为，∵，∴，∴点的轨迹方程为⑴⑵结合⑶消去、得点的轨迹方程为，即（，）如图，点的轨迹是在圆内的一段弧,如粗实线所示。⑸参数法有时可以由题设条件，引进一个中间变量（参数）来表示动点的坐标，从而求出轨迹方程。例．如图，有边长为2的等边，顶点在纵轴上移动，在横轴上移动，求第三个顶点的轨迹方程。分析：点的坐标和之间的关系不易直接看出来，但是和都和的变

7、化有关，故可引进参数，那么，∵，D∴点的参数方程为，消去参数得。点评：本题的题目如果去掉“如图”两字，则应有两解。如另图所示。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！JJ02求轨迹方程1234567直接法√待定系数法(定义法)√√转移法(代入法)√交轨法√√参数法√1．（2000年高考春季北京题）．如图，设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解：如图，点A，B在抛物线上，设，OA、OB的斜率分别为、。∴,由OA⊥AB，得①依点A在AB上，得直线AB方程②由OM⊥AB，

8、得直线OM方程③设点M，则满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式整理得④由③、④两式得,由①式知，∴因为A、B是原点以外的两点，所以,所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。2．如图，直角三角形两直