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1、上次课内容提要•稳定性的定义和充要条件–单位脉冲响应趋于零；闭环极点的实部小于零第5讲根轨迹分析法–劳斯稳定判据•单位阶跃输入作用下，系统的动态指标中国科学技术大学计算机学院–二阶系统的阻尼比(0~1)及无阻尼自振荡频率–响应时间ts，超调量Mp和上升时间tr曾凡平•静态指标：误差=期望值-稳态值根轨迹分析法2根轨迹分析法1、根轨迹法的基本概念•根轨迹：系统开环传递函数中的某个参数从零变化到(正)无穷大时，闭环系统的特征根(闭环极点)在[s]平面上的变化轨迹。•意义：–从开环零点、极点，近似求解闭极点的方法。–由于开环零点、极点易知，很有工程价值。根轨迹分析法3根轨迹分析法4根
2、轨迹分析法5根轨迹分析法61根轨迹分析法7根轨迹分析法8根轨迹方程负数的辐角=180度ⅹ奇数m∏(s+zi)Ki=1=−1gn∏(s+pj)j=1根轨迹分析法9根轨迹分析法10根轨迹分析法11根轨迹分析法122绘制根轨迹的一般步骤给出根轨迹分析法13根轨迹分析法14nm∏(s+pj)绘制根轨迹的一般法则∏(s+z)=−j=1ii=1KgmnK∏(s+z)=−∏(s+p)mgij∏(s+zi)i=1j=1Ki=1=−1gn∏(s+pj)j=1m∏(s+zi)Ki=1=−1gn∏(s+pj)j=1根轨迹分析法15根轨迹分析法16根轨迹分析法17根轨迹分析法183根轨迹分析法19根轨
3、迹分析法20根轨迹分析法21根轨迹分析法22关于分离点和会合点根轨迹分析法23根轨迹分析法244根轨迹分析法25根轨迹分析法26根轨迹分析法27根轨迹分析法28根轨迹分析法29根轨迹分析法305∑开极−∑开零n−m根轨迹分析法31根轨迹分析法32根轨迹分析法33根轨迹分析法34根轨迹分析法35根轨迹分析法366其余开环极点指向本开环极点的角开环零点指向本开环极点的角根轨迹分析法37根轨迹分析法38根轨迹分析法39根轨迹分析法40根轨迹分析法41根轨迹分析法427规则9：闭环极点的和与积若n−m≥2,闭环极点为s,则innnnm∑si=∑pi且∏(−si)=∏(−pi)+∏(−z
4、i)i=1i=1i=1i=1i=1•在已知部分闭环极点的情况下利用规则9可以求其余的闭环极点根轨迹分析法43根轨迹分析法44Kg→∞m个有max(m,n)根轨迹分析法45根轨迹分析法46绘制根轨迹举例4s+1例G(s)=K,试绘制闭环系统的根轨迹0gs(3s+1)z=−0.25,p=0,p=−0.3333112实轴上的轨迹为[−0.25,0],(−∞,−0.3333]pz21p1两条轨迹分别终于z和1负实轴的无限远处根轨迹分析法47根轨迹分析法488s+6例G(s)=K,绘制闭环系统根轨迹0g2s(s+6s+8)⎧∑pj−∑ziz=−6,p=0,p=−2,p=−4⎪交点坐标σ=
5、=01123⎪2⎨实轴上的轨迹为⎪(2l+1)00倾斜角θ=×180=±90[−2,0],[−6,−4]⎪⎩2zp1p22p1zp1p22p132dG(s)⎧s+12s+36s+24=0三条轨迹分别终于0=0即⎨z1和无限远处ds⎩s1,2=−0.94为分离点根轨迹分析法49根轨迹分析法50s+2例G(s)=K,绘制根轨迹0g2绘制根轨迹图的Matlab方法s(s+3)(s+2s+2)z=−2,p=0,p=−3,p=−1±j1123,4⎧∑pj−∑zi•rlocus(num,den)或rlocus(sys)⎪交点坐标σ==−1⎪3⎨p(2l+1)3s+2⎪00倾斜角θ=×180
6、=±60例G(s)=K,绘制根轨迹⎪⎩3z0g2p21p1s(s+3)(s+2s+2)p004p3出射角=∑∠(p3−zi)−∑∠(p3−pj)±180=−26.6•sys=tf(1,[1,0])tf(1,[1,3])tf([1,2],[1,2,2])j≠3•rlocus(sys)与虚轴的交点由G(jω)=−10•[k,p]=rlocfind(sys)ω=±1.61:临界振荡频率K=7:临界比例系数g根轨迹分析法51根轨迹分析法52习题及训练1系统的开环传递函数为G(s)=K,0gs(s+1)(s+5)绘制闭环系统的根轨迹图，并用Matlab验证根轨迹分析法539
