费马大定理的初等巧妙证明(完全版).doc

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1、费马大定理的初等巧妙证明(完全版)李联忠（营山中学四川营山）费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程当n≥3时无正整数解。证明：当n=2时，有∴（1）设则代入（1）得∴当n=3时，有∴（2）设则代入（2）得设（3）则（4）（5）若z,y的公约数为k,即(z,y)=k，k>1时，方程两边可以除以，下面分析k=1即（z,y）=1,方程的正整数解因为（z,y）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,为正整数时，x,y,z可能有正整数解，由（3）得(6)∵y,m,都取正整数，∴∴∴y没有形如y的正整数解。又∵（6）式左边分解为y和y的（3－2）次

2、式，右边分解为和的（3－1）次式，且y,m,都取正整数，如果y=,则，如果，则y>.∴不能同时成立∴y没有形如的正整数解若=ab,=cd(a,b,c,d为正整数)可得相应方程组或或这些方程组里的m,没有正整数解，若有正整数解，则与y没有形如或的正整数解矛盾。又∵在m,取正整数的条件下，y可取到任意正整数∴y没有正整数解。∴当n=3时，方程无正整数解。当n>3时，∴（7）令则代入（7）得设（8）则（9）（10）若z,y的公约数为k,即(z,y)=k，k>1时，方程两边可以除以，下面分析k=1即（z,y）=1,方程的正整数解因为（z,y）=1，分析（7），（8），（9），（10）式，只有m

3、,为正整数时，x,y,z可能有正整数解，由（8）得(11)简记为yf()=F()∵y,m,都取正整数。∴y∴和f()=F()不能同时成立。∴y没有形如的正整数解。若=ab,F()=cd(a,b,c,d为正整数)可得相应方程组或或这些方程组里的m,没有正整数解，若有正整数解，则与y没有形如或y=F()的正整数解矛盾。又∵在m,取正整数的条件下，y可取到任意正整数∴y没有正整数解

4、。∴当n>3时，方程无正整数解。定理得证。