2017.12.15初等数论费马小定理与欧拉定理.doc

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1、第七讲费马小定理与欧拉定理2017.12.18基础例题1.设n是自然数，则2.设{x1，x2，x3，…，}为模m的一个简化剩余系，则3.设a，b，c，m为自然数，m>1，(b，m)=1，且，，记，则4.设p是素数，p

2、bn-1，n为自然数，则下列两个结论中至少有一个成立：(1)p

3、bd-1对于某个因数d

4、ap-1.(1)证明：pn-1

5、a-1；(2)当p=2时，上述结论成立吗?10

6、.求(+34)28被111除的余数.11.设p是一个大于5的素数，求证：240

7、p4-112.设p为素数.证明：存在无穷多个正整数n使得13.(1)证明下列事实但不许用费马小定理：若p是质数，h1，h2，…，hn是整数，则(h1+h2+…+hn)p≡h1p+h2p+…+hnp(modp)(2)由(1)证明费马定理，然后再由费马定理证明欧拉定理.每周真题小练1.(ELMO2017)设H为三角形ABC的垂心，M为边BC的中点.以AH为直径的圆上，有相异的两点P，Q(P、Q两点均不与A重合)，满足M位于直线PQ上.证明：三角形APQ的垂心位于三

8、角形ABC的外接圆上.2.(命题人讲座)设n是一个大于1的奇数，数a1，a2，a3，…，是1，2，3，…，n中与n互素的所有正整数.证明