初等数论中的欧拉定理

《初等数论中的欧拉定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、初等数论中的欧拉定理定理内容　　在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n)=1，则　　a^φ(n)≡1(modn)证明　　首先证明下面这个命题：　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S={a*x1(modn),a*x2(modn),...,a*xφ(n)(modn)}　　则S=Zn　　1)由于a

2、,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此　　任意xi，a*xi(modn)必然是Zn的一个元素　　2)对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi≠xj　　则a*xi(modn)≠a*xj(modn)，这个由a、n互质和消去律可以得出。　　所以，很明显，S=Zn　　既然这样，那么　　（a*x1×a*x2×...×a*xφ(n)）(modn)　　=（a*x1(modn)×a*x2(modn)×...×a*xφ(n)(modn)）(modn)　　=（x1×x2×...×xφ(n)）(mod

3、n)　　考虑上面等式左边和右边　　左边等于(a*（x1×x2×...×xφ(n)）)(modn)　　右边等于x1×x2×...×xφ(n)）(modn)　　而x1×x2×...×xφ(n)(modn)和n互质　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：　　a^φ(n)≡1(modn)　　推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1)≡a(modn)　　费马定理:　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1)≡1(modp)　　证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可

4、证明。　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p≡a(modp)编辑本段平面几何里的欧拉定理定理内容　　设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．证明　　O、I分别为⊿ABC的外心与内心．　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．　　由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）　　但D

5、B=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），　　故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r即可．　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．编辑本段拓扑学里的欧拉公式　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。　　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。　　

6、　X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。编辑本段经济学中的“欧拉定理”　　在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。　　因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被视为劳动对产量的贡献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定

7、理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。　　【同余理论中的"欧拉定理"】　　设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(modm)　　(注:f(m)指模m的简系个数)编辑本段复变函数论里的欧拉公式定理内容　　e^ix=cosx+isinx　　e是自然对数的底，i是虚数单位。　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。　　将公式里的x换成-x，得到：　　e^-ix=c

8、osx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.　　这两个也叫做欧拉公式。“上帝创造的公式”　　将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：　　e^iπ+1=0.　　这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只