棱柱棱锥直观图及欧拉公式的介绍.ppt

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1、多面体：由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。食盐明矾石膏多面体正多面体定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体问题1.图中有5个多面体,分别数出它们的顶点数V,面数F和棱数E,并填表:12345图形编号顶点数V面数F棱数E123454468612681298159916规律:V+F-E=2问题2.图中有三个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E,并填表。13图形编号顶点数V面数F棱数E123558这些图形符合前面找出的规律V+F-E=2吗?1212247

2、8122比较问题1和问题2中的图形，如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们的内部充气那么其中哪些多面体能够连续（不破裂）变形，最后其表面可变为一个球面？像以上那样的连续变形中，表面能变为一个球面的多面体,叫简单多面体.猜想简单多面体的顶点数V，面数F的和与棱数E之间存在的规律？V+F-E=2欧拉公式例1：若一凸三十二面体的頂点数是60，求它的棱数。解：V=60,F=32代入V+F-E=2，得：E=V+F-2=60+32-2=90該多面体的棱数是90。例2.一个简单多面体的各个面都是三角形,证明它的顶点数V和面数F有F=2V-4的关系.分析:每个面都是三角形,有三条边,

3、则F个面共有3F条边,又每条边是两相邻面的公共边,即每两条边合为一条棱,所以E=,代入即得.小结:简单多面体V,F,E之间关系为:E=V+F-2(2)E=各面多边形边数之和的一半(3)E=顶点数V与共顶点的棱数之积的一半数学英雄欧拉，瑞士数学家。13岁就成为巴塞尔大学的学生，17岁成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕士。欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路。1726年，19岁的欧拉由于撰写了《论桅杆配置的船舶问题》而荣获巴黎科学院的资金。欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊人的记忆力！他能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（Virgil）的史诗Aenei

4、l，能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可以用心算来完成。欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数Ｒ有无穷多个对数。欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究，从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。欧拉用a、b、c表示三角形的三条边，用Ａ、Ｂ、Ｃ表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化。欧拉得到的著名的公式又把三角函数与指数函联结起来。在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和规则化

5、既有有助于学生的学习，又有助于数学的发展，所以欧拉创立了许多新的符号。如用sin、cos等表示三角函数，用e表示自然对数的底，用f(x)表示函数，用∑表示求和，用i表示虚数等。圆周率π虽然不是欧拉首创，但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行。而且，欧拉还把e、π、i统一在一个令人叫绝的关系式中。欧拉在研究级数时引入欧拉常数Ｃ，这是继π、e之后的又一个重要的数。欧拉不但重视教育，而且重视人才。当时法国的拉格朗日只有19岁，而欧拉已48岁。拉格朗日与欧拉通信讨论"等周问题"，欧拉也在研究这个问题。后来拉格朗日获得成果，欧拉就压下自己的论文，让拉格朗日首先发表，使他一举成名。1735年，欧拉着手解

6、决一个天文学难题──计算慧星的轨迹（这个问题需经几个著名的数学家几个月的努力才能完成）。由于欧拉使用了自己发明的新方法，只用了三天的时间。但三天持续不断的劳累也使欧拉积劳成疾，疾病使年仅28岁的欧拉右眼失明。但他仍然醉心于科学事业，忘我地工作。晚年欧拉的左眼又失明了，但他用口授、别人记录的方法坚持写作。他撰写了《微积分原理》，1768年，《积分学原理》第一卷在圣彼得堡出版。1770年第三卷出版。同年，他又口述写成《代数学完整引论》，有俄文、德文、法文版，成为欧洲几代人的教科书。1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来。可他的藏书及大量的研究成

7、果都化为灰烬。大火以后他立即投入到新的创作之中。他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。欧拉的记忆力也确实罕见，他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上。欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。甚至在他死后，彼得