三重积分习题课ppt课件.ppt

《三重积分习题课ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、三重积分的计算二、重积分的应用重积分习题课（二）第九章三重积分一、主要内容三重积分定义性质计算法应用一、三重积分的概念1．定义:2．物理意义:的空间物体的质量。表示体密度为二、三重积分的性质三、三重积分的计算方法1．利用直角坐标计算（1）“先一后二”法则若为在面上的投影区域（2）“先二后一”法其中是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则若2．利用柱面坐标计算若则3．利用球面坐标计算若则四、三重积分的应用1．几何应用2．物理应用（1）质量（2）质心空间立体的体积（3）转动惯量五、三重积分的解题方法计算三重积分主要应用直角坐标、柱面坐标和球面坐标三种坐标计算。通常

2、要判别被积函数和积分区域所具有的特点。如果被积函数积分区域的投影是圆域，则利用球面坐标计算；如果被积函数，则可采用先重后单法计算；如果被积函数，积分区域为柱或的投影是圆域，则利用柱面坐标计算；若以上三种特征都不具备，则采用直角坐标计算。利用球面极坐标计算先一后二的方法YesNoNoYes转化为三次积分先二后一的方法求D1及截面面积求确定上顶曲面下顶曲面为柱或投影为圆域投影为圆域利用柱面坐标计算确定上顶曲面下顶曲面利用直角坐标计算YesNo1231112解题方法流程图六、典型例题【例1】设有一物体，占有空间闭区域在点处的密度为，计算该物体的质量。解:由三重积分的物理意义，可得

3、所求物体的质量为解:（如图）在平面上的投影域.的上顶曲面为，【例2】计算三重积分其中为平面，，，，所围成的四面体。下顶曲面为。11z=0ozxx+y=1y。。z=xy【例3】解:(1)求（如图）在平面上的投影区域为(2)确定上顶曲面及下顶曲面。(3)转化为先对后对的三次积分计算：【例4】计算三重积分。其中是由曲面及平面所围成的闭区域。解：积分区域的如图所示。在柱面坐标下故有【例5】计算三重积分.其中是由锥面与平面所围成的闭区域。解法1：利用“先二后一”方法计算。由于，其中，故解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下故有注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算

4、，但“先二后一”法相对简便。【例6】计算三重积分，其中是由圆锥面与上半球面所围成的闭区域。.用哪种坐标？解法一:利用柱面坐标计算在柱面坐标下故有注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。解法二:利用球面坐标计算【例7】求，其中是由球面所限定的球域。在球面坐标系下，解：积分区域的图形如图。故有【例8】计算三重积分。其中是由球面和平面所确定的闭区域。解：积分区域的图形如图。在球面坐标系下故有【例9】计算三重积分其中是两个球体及的公共部分。解法1：利用球面坐标计算。用圆锥面将分成两部分其中于是，得解法2：利用柱面坐标计算。由于在平面的投

5、影区域；故在柱面坐标下，于是有解法3：用“先二后一”法计算。用平面将积分区域划分为两部分：，其中于是，得注：从上面三种解法的计算过程中不难发现，虽然此题可用三种方法来求解，但其中的“先二后一”法最为简便。解利用球面坐标【例10】【例11】设，计算，解：解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,【例12】