三重积分习题课课件.ppt

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1、三重积分第十章习题课一、关于三重积分性质和应用的题类二、关于三重积分的题类三、杂题定义几何意义(无)性质计算法应用三重积分主要内容物理意义（一）、三重积分常见题目类型1.一般三重积分的计算：a.选择坐标系使积分域多为坐标面围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.b.确定积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)c.写出积分限——累次积分法d.计算要简便充分利用对称性应用换元公式(先积一条线,后扫积分域)2.改变累次积分的积分次序题目要求改变积分次序或按原积分次序积不出来，必须改变积分次序.3.求由曲面所围立

2、体的体积4.用二重积分求曲面的面积6.三重积分性质的应用题（二）、三重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性(1)交换积分顺序的方法(2)利用对称性简化计算(3)消去被积函数绝对值符号(4)被积函数为1时巧用其几何意义【例1】计算【解】由对称性知（球面坐标）作业题一、关于三重积分性质和应用的题类【例2】设比较M,N,P的大小.【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称性直接作出比较呢?故【例3】【分析】利用球面坐标【解Ⅰ】二、关于三重积分的题类【解Ⅱ】利用柱面坐标【解Ⅲ】利用直角坐标【

3、例4】【解Ⅰ】面积【解Ⅱ】柱面坐标计算较繁【解Ⅲ】球面坐标计算较繁【补例】【解】略得于是（1）（2）得于是Dxy:z=00yx11。Dxy双曲抛物面教材P106习题9-3第1(1)题【例5】1x+y=1yozx1z=xy.教材P106习题9-3第1(1)题【例5】z=01x+y=1ozx1yz=xy.教材P106习题9-3第1(1)题【例5】11z=0ozxx+y=1y。。z=xy.教材P106习题9-3第1(1)题【例5】azobyxcz=xy.练习教材P106习题9-3第1(4)题zz=0acz=xyyxb.o教材P106习题9-3第1(4

4、)题练习azoxycz=xyb.教材P106习题9-3第1(4)题练习azoxycz=xyb.Dxy:z=0直角坐标用哪种坐标？abDxyyx01.Dxy:z=0用哪种坐标？.柱面坐标0xzyDxy【例6】计算I=1解法Ⅰ1.Dxy:z=0用哪种坐标？.球面坐标0xzyDxy【例6】计算I=1解法Ⅱ【注】选择合适的坐标系是计算三重积分的关键(1).区域由平面围成,常选择直角坐标系;一般的:(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如常选择球面坐标系.(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如常选择柱面坐标系;三、杂题【例7】【解】在球面坐标系下利用洛

5、必达法则与导数定义,得其中【练习】【提示】先用柱面坐标积分后展成关于t的定积分z0xya化为球坐标系下的方程r=2acos.M.r例81Dxy10xzy【例9】【解Ⅰ】1Dxy10xzy【解Ⅱ】1Dxy10xzy【解Ⅲ】1Dxy10xzy【解Ⅳ】【补充：利用对称性化简三重积分计算】使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．一般,若在的表达式中,以y代x,以z代y,以x代z则问：是否有我们知道,在定积分中,但在二,三重积分中,这一结论一般不对,不过,当满足某些条件时,结论成立。后

6、,的表达式不变(即具有“轮换对称性”),(t为时间)的雪堆在融化过程中,其表面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与表面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)【例17】——机动备用［提示］记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.