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1、(五)代数方程的求解5.1代数方程系统5.2直接法5.3主要迭代法5.4其他迭代方法15.1代数方程系统有限差分(体积)离散格式提供一个网格点(单元）的代数方程,以线性代数方程为例：P点和周围邻居点构成计算模板(比差分基架还大）计算模板(计算分子;解元SE)25.1代数方程系统:计算模板2D2阶模板2D3阶模板3D2阶模板35.1代数方程系统:整体方程系统流场中每一点都有一个方程(小组),整个计算域就有一个大型稀疏方程系统45.1代数方程系统:系数矩阵的存储只存储非零的对角元素2维5点格式：5Ni*Nj3维
2、7点格式：7Ni*Nj*NkAl,l-Nj=WAl,l-1=SAl,l=PAl,l+1=NAl,l+Nj=E55.2直接法5.2.1Gausselimination5.2.2LUdecomposition5.2.3Tridiagonalsystem5.2.4Cyclicreduction65.2.1GaussEliminationBybackwardsubstitution,wehavefromRequireO(n3/3)arithmeticoperationBackwardsubstitutionO(n2
3、/2)PivotingRarelyusedinCFDforwardelimination75.2.2LUdecompositionwhereletthenRequireO(2n2)arithmeticoperationBasisofotheriterativemethods85.2.3Tridiagonalsystem(TDMA)*Givesupperbi-diagonalmatrix.Bybackwardsubstitution,wegetelimination:***95.2.3Tridiagonals
4、ystem:块三对角方程组105.2.3Tridiagonalsystem(cont)计算量O(n)周期三对角方程组三对角方程组的并行化解法cyclicreduction,recursivedoubling,SPP…五对角方程组（类似三对角）115.3迭代法5.3.1基本概念5.3.2收敛速度5.3.3一些基本方法5.3.4不完全LU分解方法5.3.5ADI和其他分裂方法5.3.6Conjugategradientmethods5.3.7Bi-conjugategradients,CGSTAB,GMRES5
5、.3.8Multigridmethods12迭代误差迭代解的收敛：MatrixAissparse设n次迭代的近似解为,不满足上述方程，带入上述方程后有残量：5.3.1基本概念实际计算中:135.3.2收敛性Consideraniterativeschemeforalinearsystem上两式相减或M称为迭代矩阵14设特征向量完备，则isthelargesteigenvalue迭代次数：5.3.2收敛性（续）趋于零的充要条件：155.3.2收敛性：收敛速度16Jacobimethod:Gauss-Seide
6、lMethod:SuccessiveOver-relaxation(SORifw>1):UsefulforsolvinglinearsystemsoccurringincertainPDE’sForpositivedefinitematrix,theSORconvergesforConvergeslow2timesasfastasJacobi5.3.3一些基本迭代方法17GS和SOR的一般形式18GS迭代法的应用：LU-SGS奇次迭代步从左下角开始，偶次迭代步就从右上角开始19GS迭代法的应用：线-SGS2
7、0GS迭代法的应用：并行的Red-black215.3.4不完全LU分解方法(ILU)在PDE中的应用：SIP方法LUmethod是通用方法，但没有利用原矩阵的稀疏性质；ILU:非精确分解，i.e.M=LU=A+N;在ILU中,如果迭代矩阵M尽量接近原矩阵A，则收敛快.ILUmethodforCFDisStronglyImplicitProcedure(SIP)，byStone.N含有两个对角线的非零元素，而在A却为零.M中的元素由矩阵相乘得出：M=LU专用的2D五点格式：LM=A+NU22Standard
8、ILU:收敛慢！23Stone(1968):SIPN在7条对角线都可以有元素N和向量φ相的结果尽量接近零N*φ:要求：24SIP:(cont)带入(5.39)，并等于（5.38)，可以得到N的所有元素，并令M=A+N,可得到SIP的LU.(5.40)仅对PDE的５点离散格式有效。SIP求解用更新变量：SIP求解由L-sweep和U-sweep组成收敛所用迭代次数少,但计算L和U的工作量大，总体效率较高3D七对角线
