第8章代数方程组的求解

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1、第8章代数方程组的求解8.1代数方程组求解方法概要代数方程组求解AX=b线性：直接解法，迭代解法非线性：必须采用迭代解法外迭代+内迭代复习：第4章中方程求解的内容•直接解法：TDMA方法•迭代解法：常用的迭代方式点迭代、块迭代、交替方向隐式迭代简单迭代、Gauss-Seidel迭代、松弛迭代•收敛判据直接解法•Gauss消元法•矩阵分解法：LU分解法•矩阵求逆法：•三对角阵TDMA,五对角阵PDMA•环形CTDMA,环形CPDMA•耦合COTDMA,COPDMA•耦合环形COCTDMA,COCPDMA迭代

2、解法研究内容：(1)如何构造迭代方式？(2)所构造的迭代序列是否收敛？(3)如果收敛，如何提高收敛速度？非代数方程迭代求解(内迭代)线更新系数，推向下一层次性问题迭代求解︵外迭代︶非线性方程的收敛判据•外迭代收敛，才是真正的收敛！•内迭代收敛得到的系数还有待在外迭代中改进，因此，内迭代收敛并不够！•一般不需要追求内迭代的完美收敛迭代方法的新进展•块修正技术(Block-CorrectionTechnique)•强隐迭代过程法(StrongImplicitProcedure)•多重网格法(Multi-Gri

3、dAlgorithm)•共轭梯度法(ConjugateGradientAlgorithm)8.2拓展的三对角阵算法1)块三角阵算法(BTDMA)2)环形三角阵算法(CTDMA)3)五对角阵算法(PTDMA)1、块三对角阵算法(BTDMA)•实际问题有多个关联变量•一维问题，每个节点都是一个小的方程组N个变量关联的块三角方程组AU+BU+CU=D(j1,2,,JJ1,)jjjjjjj11Α0,C01JJ：一维问题划分的节点个数U：矢量，具有n个分量，该节点的待求变量A、B、C：都是nxn的

4、小矩阵消元过程•j=1BU+CU=D11121•j=2AU+BU+CU=D2122232•用A2、B1矩阵求逆消去U111111BC11ABU222ACU=BD22311AD22简化公式EU+FU=G22232递推公式EU+FU=Gjjjj1j递推过程EU+FU=Gjjjjj1•j=1:BU+CU=D11121EB,FC,GD,111111•j=J:1UEGJJJ回代公式EU+FU=Gjjjjj1•顺序：计算实施过程•计算消元递推系数(矩阵)：EFG,,(1,2,,)j

5、Jjjj•算出最后一个元(矢量)：1UEGJJJ•回代算出其它元：2、环形三对角阵算法•常见：周期性边界条件问题离散方程ABCDjN(1,2,,1)jjjjjjj11•周期性条件：j1,jN11jN1,j11假定消元递推关系式为EFGjjjjNj11•比较：TDMA的递推式TPTQi1i1ii1第一个节点j=1•原方程：111BA21CA111DA1NBCD111E,F,G111AAA111

6、递推公式AjCEjj1jBjj1CFjj1N1DjCGjj1EFGjjj11jNjBCFDCGjjj11jjjE,F,GjjjACEACEACEjjj1jjj1jjj1(jN2,3,,2)关键：求出N1•需再推导出一个方程，与前面方程联立求解•N-1节点原方程：ABCDN1N1N11N1N2N1pA,qB,rD1N11N11N1pqCr1NN1N11121pqC

7、r1111NNN121EFG112111Np1qF11qENN1NC1r12qG12111p1qF111qE112Cr1N2qGN11N1ppqFqqErrqG,,21112112111pqCr2122NNN122pqCr1N111N1N21pqCrjNjjN11N2j•递推关系ppqFqqE,r,rqGjjjjjj11jj11jj1

8、11j1(jN2,3,2)•N-1节点：pqNNCN21Nr2N1N22N2EN2FN2N1GN2rGqCN2N2N2N1N1pN2qN2CN1EN2FN2CTDMA具体实施步骤•计算系数EFGj,,jj(j1,2,,N2)•计算系数pqrjj,,(jjN1,2,,2)rN2GN2qN2