线性代数schmidt正交化方程组求解

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1、几何与代数主讲:王小六东南大学线性代数课程线性代数的相关资料：1《IntroductiontoLinearAlgebra》，GilbertStrang著，麻省理工开放课程链接：http://hi.baidu.com/lyltim/blog/item/7a80a144ba1b2a97b2b7dcc6.html2《Linearalgebraanditsapplications》/线性代数及其应用/[美]DavidC.Lay著3《Linearalgebrawithapplications》/线性代数/StevenJ

2、.Leon.著4东南大学线代精品课程网站http://zlgc.seu.edu.cn/jpkc/2010jpkc/jhdskc/Home/Index.maspx5同济的，浙大唐明编写的，东大张小向编写的“习题书”6《高等代数.定理·问题·方法》/胡适耕，刘先忠编著O15/367《线性代数学习指导》/樊恽,郑延履,刘合国编O151.2-42/188《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组王萼芳石生明著，高等教育出版社（较难，数学系教材）第四章n维向量第4节向量的内积二.正交向量组和Schmidt

3、正交化方法正交向量组标准正交向量组正交基标准正交基1.概念第四章n维向量§4.4向量的内积发现的结论设1,2,…,s是标准正交向量组,且=k11+k22+…+kss,则ki=<,i>,i=1,2,…,s.2.结论定理4.10.1,2,…,s正交线性无关.定理4.11每个非零的向量空间V都有标准正交基.第四章n维向量§4.4向量的内积1=1,………Schmidt正交化方法(务必掌握)：2=2<2,1><1,1>1,s=s<s,1><1,1>1…

4、<s,s1><s1,s1>s1再将1,2,…,s单位化得:1=1

5、

6、1

7、

8、,2=2

9、

10、2

11、

12、,…,s=s

13、

14、s

15、

16、.第四章n维向量§4.4向量的内积另外，从上述构造可总结：设1,2,…,s线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,…,s使得1,2,…,t与1,2,…,t等价(1ts).第四章n维向量§4.4向量的内积第二章n维列向量§2.6内积与正交矩阵三.正交矩阵(orthogonalmatrix)定义满足QTQ=E或QQT=

17、E(即Q1=QT)的实方阵Q称为正交矩阵,简称为正交阵.定理4.12.设Q为n阶实方阵,则下列条件等价:性质.(1)Q为正交阵

18、Q

19、=1;(2)Q的行(列)向量组构成Rn的一组标准正交基;(1)Q是正交阵;(3)QT是正交阵;(4)Q1是正交阵.(2)A,B为正交阵AB为正交阵.例设,是n维列向量,Q为n×n的正交矩阵,则

20、

21、Q

22、

23、=

24、

25、

26、

27、,<,>=.Q,Q的长度和夹角与,的长度和夹角相等第四章n维向量§4.4向量的内积例如:Q=cossinsincos

28、QT=cossinsincosQTQ=cos2+sin2sin2+cos200=E.QOxcossinsincosQ=对应的正交变换y第四章n维向量§4.4向量的内积Oyx1001Q=对应的正交变换1001Q=对应的正交变换QOyxQ第四章n维向量第5节线性方程组解的结构行变换§4.5线性方程组解的结构一.线性方程组的相容性回忆：ARsn,bRs,对于线性方程组Ax=b,例1[A,b]阶梯形[A,b]~~(1)Ax=b有解<=>A与(A,b)的非零行数

29、相等；(2)当A与(A,b)的非零行数都等于n时,Ax=b有唯一解；(3)当A与(A,b)的非零行数(记为r)相等且小于n时,Ax=b有无穷多解,通解中含有n–r个自由未知量.~~~~~~~~~第四章n维向量§4.5方程组解的结构行变换§4.5线性方程组解的结构一.线性方程组的相容性回忆：ARsn,bRs,对于线性方程组Ax=b,例1[A,b]阶梯形[A,b]~~A的非零行数=r(A)=r(A)；~~第四章n维向量§4.5方程组解的结构~(A,b)的非零行数=r(A,b)=r(A,b).~~~§4.

30、5线性方程组解的结构一.线性方程组的相容性定理4.13.设ARsn,bRs,则(1)Ax=b有解r([A,b])=r(A);(2)当r([A,b])=r(A)=n时,Ax=b有唯一解;(3)当r([A,b])=r(A)r(A,B)=