代数方程的数值求解.ppt

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1、12.代数方程的数值求解双曲、抛物型1D隐式在定常或非定常问题中，显格式可直接由迭代初值或当前时刻值算出新时刻的值，但隐格式则将原方程（组）化为代数方程组双曲、抛物型2D隐式或椭圆型需要对方程组进行联合求解。该方程组所含方程的个数等于因变量数与格点数的积，设为N。若采用通常的系数矩阵求逆或高斯消去法，每次求解将涉及N3/3次运算。寻求有效算法12.1追赶法对一维隐式或多维问题(单个因变量)的交替方向隐式，每个点的差分方程只涉及三个未知量A为n*n系数矩阵，它具有三对角形状线性外推等值外推固定边界它可能出现三项，但总可化为两项例：非开

2、拓网格的对称边界作业作业且b2=-c2增广矩阵其递推关系令第i-1行已求得，则消去此过程由上依次向下的递推过程俗称“追”。增广矩阵其解的递推关系为此过程由下依次向上的回代过程俗称赶”。追步计算量：2n次除，2n次乘，2n次加赶步计算量：n次乘，n次加共2n次除，3n次乘，3n次加。内存占用量7N。但若让分别和共享内存，则占用量为4N。计算量是显格式的2倍。而高斯消去法的计算量约次乘除，内存单元对涉及m个因变量的偏微分方程组，则追赶均矩阵其中-1次方为逆。由于m不大，可由通常的方法如主元高斯消去法。选做作业周期边界从第一点到第n点均变

3、为内点类似地，先消去c,再寻找递推关系。其计算量是通常追赶法的2倍。特例12.2迭代法若网格不均匀分布，各系数无任何均匀性，则宜采用迭代法设精确解为，先取作猜解（对椭圆型方程而言，即迭代初值，对非定常问题，可用老时刻的值），将上式分两部分：一部分维持未知，另一部分则代以迭代初值，继而不断重复此过程，若能保证,则称此迭代是收敛的（一）雅可比法（简单迭代法）它通过四个邻接点的初迭代值去实现对中心点值的调整。收敛条件：或该法收敛速度慢，且两时刻的值均须保存，故很少使用。（二）高斯－塞德尔法在上一法中只用一个二维数组来存储，每个新的算出后，

4、旧的被替换。实际迭代中常沿着j，l增大的方向扫描，则上式变为收敛条件：或该法收敛速度比上一方法高出一倍。（三）松弛法在上两法中右边均未用上本身的值，若与加权平均，则收敛条件：或加权因子叫做松弛因子。叫超松弛，它有利于提高收敛速度，叫亚松弛，它有利于增强迭代的稳定性。（四）逐线法松弛法的缺点：任一格点对其余格点的影响是逐点传播，这限制了传播速度。为克服之，可采用隐式处理。线上格点一律用新值，而和线上一律用旧值。用追赶法求解。逐线法沿增大的方向扫描一次完成一次迭代，下一次沿减小的方向进行。多用于非定常问题的隐式差分方程。（五）交替方向隐

5、式逐线法只影响相邻网格线上的全部格点，垂直方向则无，从而限制收敛速度。为此，在两个方向上轮流隐式扫描。沿线此类似于非定常问题的ADI格式。沿线可在交替方向隐式中引入松弛技巧该法收敛速度明显快于松弛法，但对起伏较大的系数则易发散。若此法不可行，则采用松弛法。（六）ConcusGolub方法例：椭圆型方程采用均匀正方形差分网格并按正五点格式其中当较光滑时，此迭代方法收敛速度极快，可达每步减少1个量级。不过系数起伏大时易发散。可用FFT方法求解之。（七）补充（1）停止迭代的判据一个不甚严密但较常用的方法：若可能为0，则上式改为或更为严格一

6、点：每次迭代后将结果代入原差分方程，分别求得各格点的误差余项，并对最大的余项提出限制。（2）迭代初值的选取对定常问题，初值约接近真解越好。对非定常问题，老时间步的解即为初值。对较小的时间步长，往往少数几次迭代即可。若的系数（含非齐次项）是的函数，则通常采用“冻结系数法”：以迭代初值计算这些系数（含非齐次项），并在一次计算过程中保持不变，待新的解找到后再用新值计算系数，并重复该迭代过程。（3）非线性问题的处理其实质为将非线性方程组化为线性方程组。方法简单，但收敛慢。另一常用的线性化方法：Newton-Raphson方法，其收敛速度大增

7、。参考Auer,L.&Mihalas,D.,1969,ApJ,158,641不失一般性，设差分方程为其中各系数是、、的函数。设在k个迭代步后的近似解为，令并对进行Taylor展开，如：代入差分方程（去掉高阶项）其中