现在数值分析课件科大 现代数值分析03 线性代数方程组求解.ppt

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1、１．向量与矩阵的范数定义2.3.1　　　　　　　　　　　　（１－范数）　　　　　　　　　　　　（２－范数）§2.3矩阵的条件数与方程组的性态§2.3ConditionNumberofMatrixandCharacterofLAE/NormofVectorandMatrix/对任意的向量,若对应一个非负的实值函数　满足：(１)非负性：　　　　　　　当且仅当；(２)齐次性：对任意的实数有　　　　　　；(３)三角不等式：对任意的向量　　　　有则称　为向量的范数或模定理2.3.1定理2.3.2（等价性定理）设

2、　　以及　是　上的两种向量范数，则存在常数　　使得对任何　　　成立．　　　　　　　　　　　　（p－范数）　　　　　　　　　　　　（－范数）(连续性定理)设　是　　　的某种范数，则是分量　　　　　　的连续函数．§2.3ConditionNumberofMatrixandCharacterofLAE定义2.3.2对任意的矩阵　　　若对应一个非负的实值函数　满足：则称　为矩阵A的范数或模（1）非负性：　　　　　　　当且仅当A＝０；（2）齐次性：对任意的实数有　　　　　　；（3）三角不等式：对任意的矩阵　　　

3、　有（4）对任意的　　　　　有进一步，若对给定的矩阵范数　　，它与某个向量范数　　　满足条件：（5）对任意　　　成立，则称矩阵范数　　与向量范数　　相容．§2.3ConditionNumberofMatrixandCharacterofLAE　　　　　　　　　　　　　　（F－范数）　　　　　　　　　　　　（列范数或1－范数）设　　　　　　　常用的矩阵范数有：　　　　　　　　　　　　（行范数或－范数）　　　　　　　　　　　　　（谱范数或２－范数）这四种矩阵范数满足矩阵范数定义的前四条他们与向量范数有

4、下列相容关系:§2.3ConditionNumberofMatrixandCharacterofLAE定理2.3.3２．扰动方程的误差界矩阵范数　　，　　，　　分别是向量范数　　，　　，　的从属范数．对线性方程组,①,则有,但是,于是有②,则有③§2.3ConditionNumberofMatrixandCharacterofLAE３．矩阵的条件数与方程组的性态定义2.3.4设Ａ是n阶非奇异矩阵，称数为矩阵Ａ的条件数，其中　　为　　中的某种矩阵范数．当时,有§2.3ConditionNumberofMat

5、rixandCharacterofLAE常用的条件数有：矩阵的条件数具有下列性质如果Ａ为实对称正定矩阵，则（１）对任意的非奇异矩阵　　　　有（２）对任意的非奇异矩阵　　　　及　　　，　　有（３）对任意的正定矩阵Ａ，有（４）设Ａ为非奇异矩阵，Ｐ为正交矩阵，则§2.3ConditionNumberofMatrixandCharacterofLAE矩阵的条件数与方程组的性态：矩阵的条件数是线性方程组的解对系数矩阵A及右端项b中有微小扰动时敏感性能的一种度量.例n阶希尔伯特(Hilbert)矩阵其条件数为定义对线

6、性代数方程组,如果系数矩阵A非奇异,且条件数Cond(A)很大,则称是病态方程组,或称A为病态矩阵;如果条件数Cond(A)相对较小,则称是良态方程组,或称A为良态矩阵.§2.3ConditionNumberofMatrixandCharacterofLAE