第二章误差分布与精度指标

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1、第二章误差分布与精度指标本章重点1.正态分布与偶然误差的规律；2.衡量精度的指标；3.精度、准确度、精确度以及测量不确定度的概念；§2-1正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。为什么正态分布是一种重要分布？（1）设有相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn,其总和为X=Xi,无论这些随机变量原来服从什么分布，也不论它们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和X的影响都是均匀地小，即没有一个比其他变量占有绝对优势，其总和X将是服从或近似服从正态分布的随机变量。换句话说，当对某个量进行观

2、测时，总是不可避免地受到若干偶然因素的影响，其中每一个引起的基本误差项为δi，而总的测量误差=δi，如果每一个δ对其总和的影响都是均匀地小，那么，总和就是服从正态分布的随机变量。（2）有许多种分布，如二项分布、t分布等等，当n∞时，它们多趋近于正态分布，或者说许多种分布都是以正态分布为极限分布的。一、一维正态分布1.概率密度:其中μ和σ是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机变量数字特征为μ和σ的正态分布，一般记为x～。2.一维正态随机变量X的数学期望和方差推导：作变量代换，令则有因为故等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概

3、率统计原理在测量中的应用》293页。数学期望有甲乙两射手他们射击技术如下表：击中环数x8910随机量概率P甲乙0.30.10.60.20.50.3试问哪一个射手技术好呢？甲：8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3乙：8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1平均起来甲的技术好些。这种平均值就是随机变量的数学期望。定义1.1：设离散型的随机变量的分布律为P{X=xi}=pi，i=1,2,…若级数绝对收敛，则称级数为随机变量X的数学期望或算数平均值，记为定义1.2：若连续型的随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分为X的数学期望或平均

4、值，记为一维正态随机变量X的数学期望推导：概率=1由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即但上式带有绝对值，运算不方便，通常用来度量随机变量相对其均值的离散程度。方差定义：设X是一随机变量，若存在，则称之为随机变量的方差，记为在应用中为了与随机变量有相同的量纲，引入标准差（或均方差），记为由定义可知，方差就是随机变量X的函数的数学期望，对于离散型的随机变量，若X的分布律为则有对于连续型的随机变量X，若X的概率分布密度函数为f(

5、x)，则有推导令推导作变量代换，令即证毕。3.一维正态随机变量出现在给定区间内的概率则有由正态分布概率数值表查得：如果令二、N维正态分布设随机向量服从正态分布，则n维正态分布的随机向量X的联合概率密度函数是n维正态随机变量的数学期望和方差（数字特征）分别为其中：是随机变量Xi的方差，是随机变量Xi对随机变量Xj的互协方差。§2-2偶然误差的规律性任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数。这一数值就称为该观测量的真值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，其数学期望也就是它的真值。一、真误差——偶然误差的定义设进行了n次观测，其

6、观测值为L1、L2、…、Ln,假定观测量的真值为、、…，由于各观测值都带有一定的误差，因此，每一观测值Li与其真值或E（Li）之间必存在一差数，设为（2-2-1）式中称为真误差，有时简称为误差。（2-2-3）若记则有（2-2-2）如果以被观测量的数学期望表示其真值，则测量平差中所要处理的观测值是假定不包含系统误差和粗差的，△仅仅是指偶然误差。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布。1.统计表在某测区，在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有误差，故三角观测

7、值之和不等于其真值180°，根据（2-2-1）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出：式中(L1+L2+L3)i表示各三角形内角和的观测值。现取误差区间的间隔d△为0.20〃，将一组误差按其正负号与误差值的大小排列；统计误差出现在各区间内的个数，以及“误差出现在某个区间内”这一事件的频率(n=358），其结果列于表2-1中。二、偶然误差的统计规律误差的区间〃△为负值△为正值备注个数频率个数频率0.00~0.200.20~0.400.40~0.600.60~0.800.80~1.001.00~1.201.20~1.401.40~1.601.60以上454

8、0332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0