第二章 误差分布与精度指标

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1、第二章误差分布与精度指标§2.1正态分布偶然误差表现：在相同的观测条件下进行一系列观测，单个误差在大小和符号上都没有任何规律，表现出随机性，每个误差对总体的影响很小，没有哪个误差在整个误差中占优势，但大量误差的总体却呈现出一定的统计规律。§2.1正态分布（1）相互独立的随机变量：无论这些随机变量原来服从什么分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是均匀地小，那么，其总和将是服从或近似服从正态分布的随机变量。（2）许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。正态分布是一种常见的概率分布，是处理观测数

2、据的基础。偶然误差是服从正态分布的随机变量§2.1正态分布服从正态分布的一维随机变量的概率密度函数是：一维正态随机变量的数学期望和方差是:§2.1正态分布服从N维正态分布的随机向量X的概率密度函数是：N维正态随机变量的数学期望和方差是:§2.1正态分布正态分布曲线的性质:1、曲线关于x=u对称；2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与成反比；3、当X离u越远，f(x)的值越小；4、曲线x=u±处有拐点；5、越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭§2.2偶然误差的统计规律性实验表明：（1）闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说超出一定界限的闭合差出现的概率为零；

3、（2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现的概率要大；（3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。§2.2偶然误差的统计规律性1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值（界限性）；2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（聚中性）；3、绝对值相等的正负误差出现的概率相同（对称性）；4、偶然误差的数学期望为零§2.2偶然误差的统计规律性偶然误差，服从正态分布图2.2.1σ不同，曲线的位置不变，形状却变化:σ愈小，曲线顶点愈高，形状愈陡峭，误差分布密集于随机变量的数学期望附近。偶然误差的概率密度函数是：§2.3精度一、精度的概念：精度：误差分布

4、的密集或离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组观测值的观测质量的好坏.二、精度指标：1、平均误差在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学期望。与中误差的关系：2、方差/中误差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差面积为1方差：中误差：提示：σ越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。方差的估值：当观测值n有限时,3、或然误差f()0闭合差50%4、极限误差

5、正态随机变量出现在给定区间内的概率是：由概率论知道:5、相对误差中误差与观测值之比，用1/N表示。国际上选用中误差作为精度评定指标矩阵知识（1）由个数有序地排列成m行n列的数表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22……ann称为对角元素。(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：(5)对于对角阵，若a11=a22=……=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。(6)若aij=aji，则称A为对称矩阵。(7)转置矩阵对于

6、任意矩阵Cmn:将其行列互换，得到一个n×m阶矩阵，称为C的转置矩阵,记为CT矩阵转置的性质：（6）若,则A为对称矩阵。(8)逆矩阵给定一个n阶方阵A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件:A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵逆矩阵的性质:矩阵的基本运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。（3）A为m×s的矩阵，B为s×n的矩阵,C=AB，

7、C的阶数为m×n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）(4)矩阵的微分：§2.4方差—协方差阵一、单个观测值的方差、协方差：方差反映了X的误差分布的离散程度;协方差反映了X和Y之间的相关关系.当两个随机变量X和Y随机独立，或者说两个（两组）观测值X和Y的真误差之间互不影响，则称为这些观测值是不相关的观测值，也称独立观测值。§2.4方差—协方差阵二、观测值向量的方差-协方差阵：观测值向量:观测值向量的自协方差阵：§2.4方差—协方差阵观测值向量的自协方差阵DXX：DXX特点：对称可逆方阵主对角线上元素为对应观测值的方差

8、;非主对角线上元素为对应两个观测值的协方差§2.4方差—协方差阵三