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1、第十四章幂级数单选题：1设幂级数的收敛半径为R，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。（B）在内某些点处非绝对收敛。（C）的收敛半径大于。（D）对任意的，在上一致收敛。．2。若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；(B)在处收敛；(C)收敛区间为;(D)当时发散。3．幂级数级数的收敛域是(A)(B)(C)(D)4．若幂级数的收敛半径为R,那么(A),(B),(C),(D)不一定存在.5．如果能展开成的幂级数，那么该幂级数(A)是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；(C)不是的麦克劳林级数；(D
2、)是在点处的泰勒级数。6.如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B)当时,收敛；(C)当时,发散；(D)当时,发散7..设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。8幂级数在其收敛区间的两个端点处A全是发散的.B.全是收敛的C.左端点发散,右端点收敛.D左端点收敛,右端点发散9.函数展开成的幂级数的方法是.10.幂级数的收敛域为答案:1—10DDBDAADDDA填空题：1.若幂级数在内收敛,则应满足__________.2.设幂级数的收敛半径为2,则级数的收敛区间为_
3、_________.3.级数的和函数为_________.4.设是一等差数列,则幂级数收敛域是__________.5.与有相同的___________.6.的幂级数展开式_________________.7.幂级数只有在___________区间内才有和函数.8.经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.9.的幂级数表达式____________.10.级数在区间_________收敛.答案：1..4.(-1,1)5.收敛区间..6.7.收敛.8.收敛半径.9.计算题1.求幂级数的收敛域及和函数.
4、2.求幂级数的收敛域及和函数.3.求幂级数的收敛半径与收敛域(1)4.将函数展开为的幂级数,并指出收敛域.5.求函数在x=1处泰勒展开式.6.设幂级数当时有且求该幂级数的函数.7.将展成x的幂级数.8.求幂级数的和函数.9.试求幂级数的收敛区域及和函数10.设，确定的连续区间，并求积分的值答案:1.解因且当时级数都发散,故该级数的收敛域为(-1,1),令,则,.2.解:收敛半径,当时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1).设其和函数为,3.(1)解记,由于,故收敛半径R=1,收敛区间为(-1,1)当时,由于,故
5、级数发散,所以该级数的收敛域为(-1,1).(2)解记因为所以收敛半径R=1,收敛域为[-1,1].4.解而而级数与的收敛域都是[-1,1],故当时5.解因.6.设和函数则即.解上述关于的二阶微分方程,得.7.解易看出,而两边求导,得.8.级数的和函数为9.由于级数在上收敛，所以当时，有10.因为幂级数的收敛域是，所以在上的连续，且可逐项积分。.证明题：1.设在内收敛,若也收敛,则.2.设f为幂级数在(-R,R)上的和函数,若f为奇函数,则原级数仅出现奇次幂的项,若f为偶函数,则原级数仅出现偶次幂的项.3.设函数定义
6、在[0,1]上,证明它在(0,1)满足下述方程:4.设证明当时,级数收敛.5.设幂级数，的收敛半径分别为，设，证明：当时，幂级数绝对收敛。6.设，求证：其中7.设，，。证明：当时，满足方程。8.若幂级数的收敛半径为R(>0),且在(或时收敛,则级数在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.9.设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切,有,证明:对内任一点与有.10.证明:满足方程.答案:1.证明:因为当收敛,有又当时,收敛,从而可知在左连续,于是.2.,,当为奇函数时,有,从而,这时必有.当为偶函数时,
7、有此式当且仅当.3.证明:设则.所以故.0
