函数展开成幂级数.pdf

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1、第五节函数展开成幂级数两类问题:在收敛域内求和和函数展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数机动目录上页下页返回结束一、泰勒(Taylor)级数若函数的某邻域内具有n+1阶导数,则在该邻域内有:此式称为f(x)的n阶泰勒公式,其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.机动目录上页下页返回结束定义若函数的某邻域内具有任意阶导数,则称为f(x)的泰勒级数.当x=x0时,上述级数收敛于当时，待解决的问题:1)该此级数是否收敛,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?定理1.

2、设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明略f(x)的n阶泰勒公式:0f(x)的泰勒级数.f(x)的泰勒级数.0当x0时，0称为f(x)在点x00的麦克劳林级数.问题：1.f(x)如果能展开成泰勒级数,an是什么?2.展开式是否唯一?定理2.若f(x)能展成x的幂级数:f(x)=则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则当x=0时，显然结论成立.二、函数展开成幂级数直接展开法

3、—利用泰勒公式展开方法间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开1.直接展开法第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.机动目录上页下页返回结束例1.将函数展开成x的幂级数.解:故得级数其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足(在0与x之间)例1.将函数展开成x的幂级数.解:故例2.将展开成x的幂级数.解:0sin=1=0=-1=01,0,-1,0,……得级数:其收敛半径为例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径

4、为对任何有限数x,其余项满足<1sin(在0与x之间)类似可推出:机动目录上页下页返回结束2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,将所给函数展开成幂级数.例3.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x换成,得机动目录上页下页返回结束例4.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得上式右端的幂级数在x＝1收敛,定义且连续,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛区间为利用此题可得机动目录上页下页返回结束例5.将展成的幂级数.解:例7.将展成x－1的幂级数.解:机动目录上页下页返回结束三、函数

5、的幂级数展开式在近似计算中的应用1.近似计算Aaaa,12nAaaa,12n误差raa.nn1n2两类问题:1.给定项数,求近似值并估计精度;2.给出精度,确定项数.关健:通过估计余项,确定精度或项数.常用方法:1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.例1x121n解e1xxx,2!n!11令x1,得e11,2!n!内容小结1.函数的幂级数

6、展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开式的函数.2.常用函数的幂级数展开式机动目录上页下页返回结束当m=–1时机动目录上页下页返回结束思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.机动目录上页下页返回结束思考与练习2.如何求的幂级数?提示:机动目录上页下页返回结束