幂级数的应用.pdf

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1、第六节*幂级数的应用一、近似计算二、欧拉公式复数项级数、绝对收敛复变量指数函数欧拉公式、欧拉公式的其它形式复数的指数形式、复变量指数函数的性质一、近似计算5例1计算240的近似值，要求误差不超过0．0001．5515/1解因为24024331(3)，4311所以在二项展开式中取m，x，即得45311141149152401(3···)．428312535!235!33115于是取近似式为2401(3)，453其误差(也叫做截断误差)为1411491149141

2、r2

3、(3···)283124165!235!335!

4、43141112<31[()···]285!23818111141149152401(3···)．428312535!235!33115于是取近似式为2401(3)，453其误差(也叫做截断误差)为1411491149141

5、r2

6、(3···)283124165!235!335!43141112<31[()···]285!23818161111．8125325274020000181为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过104，计算时应取五位小数，然后四舍五

7、入．因此最后得52402.9926．12例2利用幂级数展开式求定积分edxx的近似值,要求精确到0小数第三位．nxn2241(1)2解ex1,xx2!nn1x211(1)edx1,0325nn!(21)n1x211(1)取edx1,0325nn!(21)1r,则误差n1(1nn)!(23)根据要求取n=4即可，1x21111由此可得edx10.747.032567249二、欧拉公式复数项级数：设有复数项级数(u+iv)+(u+iv)+···+(u+iv)+···11

8、22nn其中u，v（n=1，2，3，…）为实常数或实函数．如果实部所nn成的级数u+u+···+u+···12n收敛于和u，并且虚部所成的级数v+v+···+v+···12n收敛于和v，就说复数项级数收敛且和为u+iv．绝对收敛：22如果级(un+ivn)的各项的模所构成的级数unvn收敛，n1n1则称级数(un+ivn)绝对收敛．n1复变量指数函数：考察复数项级数121n1zz···z···．!2n!此级数在复平面上是绝对收敛的，在x轴上它表示指数函数ex，在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为ez．即z121ne1zz···z···．!2n

9、!欧拉公式：当x=0时，z=iy，于是iy121ne1iy(iy)···(iy)···!2n!12131415=1iyyiyyiy···!2!3!4!512141315=(1–y+y－···)+i(y–iy+iy－···)!2!4!3!5=cosy+isiny．把y定成x得eix=cosx+isinx，这就是欧拉公式．欧拉公式：eix=cosx+isinx．复数的指数形式：y复数z可以表示为z=x+iyz=r(cos+isin)=rei，r其中r=

10、z

11、是z的模，=argz是z的y辐角．xOx欧拉公式的其它形式：由eix=cosx+isinx及e－ix=co

12、sx－isinx，得11ixixixixcosxee()及sinxee()22i这两个式子也叫做欧拉公式．复变量指数函数的性质：ez1z2ez1ez2，特殊地，有ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny)．