幂级数在条件数列中的应用.pdf

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1、第３３卷湖北师范学院学报（自然科学版）Ｖｏｌ畅３３第２期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｂｅｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｎｏ畅２，２０１３幂级数在条件数列中的应用陈引兰，余立婷（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石４３５００２）摘要：通过若干初等函数的幂级数展开式及其变形，给出了用其他方法难以证明的条件数列和的代数恒等式，并给出了证明，其中二次s项数列和的恒等式，推广了王永元等关于条件数列二次二项、二次三项乘积和的恒等式。在此基础上讨论了通项是条件数列求和的若干正项级数的敛散性，而这些级数的敛散性用其

2、它方法难以证明。关键词：条件数列；幂级数；敛散性；中图分类号：Ｏ１７３．１文献标识码：Ａ文章编号：１００９-２７１４（２０１３）０２-００８５-０６doi：10．3969／j．issn．1009－2714．2013．02．020文［１］中介绍了幂级数的相关知识，幂级数是一类简单而有用的函数项级数。在文［２］中，美国数论专家ＳｍｒａｎｄａｃｈｅＦ提出了初等数论及集合论中１０５个未解决的问题让大家研究，其中有５个问题是关于数列的性质问题，可见对数列的研究非常重要。本文先定义了条件数列，利用若干基本初等函数的幂级数展开式的变形，发现了

3、条件数列求和规律，给出了通过其他方法较难证明的条件数列和的代数恒等式，结果以定理１－６给出。定理７是文［３］中的定理３和定理４的一个推广，即文［３］中的定理３和定理４是本文定理７的推论，并给出了证明，这一部分的推广还给出了求其他条件数列和的方法。接着利用这些恒等式，讨论了通项是条件数列求和的正项级数的敛散性，而这些级数的敛散性用其他方法也不易判断。为了下面叙述的方便，先给出条件数列的定义。定义１当一个数列的通项的序满足一个特定的不定方程式时，把它叫做条件数列。称条件数列的通项的序满足的不定方程中的未知数个数为条件数列的项，称条件

4、数列的通项中各未知数的最高次数为条件数列的次数。１例如：数列求和∑（其中k１，k２，n为自然数），它的序满足不定方程式k１＋k２＝n（２k１＋１）！（２k２＋１）！１k１＋k２＝n，其中未知数的个数为２，通项中各未知数的最高次数为１，所以它是（２k１＋１）！（２k２＋１）！２２２２一个一次二项的条件数列。而数列∑k１k２k３⋯ks就是一个二次s项的条件数列。k１＋k２＋k３＋⋯＋ks＝n1若干条件数列求和的恒等式1．1一次二项、一次三项、一次四项条件数列求和下面的定理１和定理２是一次二项条件数列求和．收稿日期：２０１２—０６—２

5、５基金项目：湖北师范学院科研项目（ＮＯ：２００６Ｄ１２）作者简介：陈引兰（１９７４—），女，湖北罗田人，副教授，硕士，主要从事代数学研究。·８５·２n＋１１２定理１设k１，k２，n为自然数，则有∑＝畅k１＋k２＝n（２k１＋１）！（２k２＋１）！（２n＋２）！∞n２n２n２１１（－１）２x证明由ｓｉｎx＝－ｃｏｓ２x＋，由文［１］可，得ｃｏｓ２x＝∑畅所以２２n＝０（２n）！∞n２n２n∞n－１２n－１２n２１（－１）２x１（－１）２x１ｓｉｎx＝－∑＋＝∑＋（１）２n＝０（２n）！２n＝０（２n）！２∞n２n＋１（－１）x根据

6、幂级数乘法，由文［１］知：ｓｉｎx＝∑，故n＝０（２n＋１）！∞k１＋k２ｓｉｎ２x＝∑［∑（－１）］x２（k１＋k２）＋２＝n＝０k１＋k２＝n（２k１＋１）！（２k２＋１）！∞n（－１）２n＋２∑［∑］x（２）n＝０k１＋k２＝n（２k１＋１）！（２k２＋１）！２n＋２比较（１），（２）式中x的系数可得nn２n＋１（－１）（－１）２∑＝k１＋k２＝n（２k１＋１）！（２k２＋１）！（２n＋２）！所以２n＋１１２∑＝k１＋k２＝n（２k１＋１）！（２k２＋１）！（２n＋２）！２n－１１２定理２设k１，k２，n为自然数，则有∑＝

7、（n＞０）畅k１＋k２＝n（２k１）！（２k２）！（２n）！∞n２n２n２１＋ｃｏｓ２xｃｏｓ２x１（－１）２x证明由ｃｏｓx＝＝＋ｃｏｓ２x＝∑２２２n＝０（２n）！所以∞n２n－１２n２（－１）２x１ｃｏｓx＝∑＋（３）n＝０（２n）！２又由幂级数乘法知∞n２（－１）２nｃｏｓx＝∑［∑］x（４）n＝０k１＋k２＝n（２k１）！（２k２）！２n比较（３）（４）式中的x的系数知nn２n－１（－１）（－１）２∑＝k１＋k２＝n（２k１）！（２k２）！（２n）！所以２n－１１２∑＝k１＋k２＝n（２k１）！（２k２）！（２n）！下

8、面的定理３和定理４是一次三项条件数列求和。定理３设k１，k２，k３，n为自然数，则有２n＋２１３（３－１）∑＝k１＋k２＋k３＝n（２k１＋１）！（２k２＋１）！（２k３＋１）！４（２n＋３）！３１３证明由ｓｉｎx＝－ｓｉｎ３x＋ｓｉｎx，由ｓｉｎx及ｓｉｎ３x