函数的幂级数展开及应用

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1、§8.4函数的幂级数展开及应用设收敛区间(-r,r),r0,则S(x)在(-r,r)上可导,且由于幂级数的收敛半径也为r,于是在(-r,r)上可导,且S(x)在(-r,r)上二阶可导又的收敛半径也为r,在(-r,r)上可导,且S(x)在(-r,r)上三阶可导重复这一过程可知:S(x)在(-r,r)上无穷阶可导,即幂级数表示的和函数在其收敛区间上任意阶可导问题:若一函数f(x)在(x0-,x0+)上任意阶可导,f(x)是否可以表示为即一任意阶可导的函数是否可以展开为一幂级数?这就是函数的幂级数展

2、开问题我们首先考虑,如果那么cn=?令xx0,两边求导得让xx0,有再两边求导有让xx0,有重复这一过程可得即如果则泰勒级数:级数称为函数f(x)在x=x0点的泰勒级数由此得知:(1)如果f(x)可表示为一个以x0为基点的幂级数,则此幂级数就是f(x)在x0点的泰勒级数(幂级数表示的唯一性)(2)幂级数就是其和函数S(x)在x0点的泰勒级数(3)一个在N(x0)上任意阶可导的函数f(x),总可构造它在x0点处的泰勒级数下面讨论:?由泰勒公式若记的部分和数列为{Sn(x)},则有故知:定理在点x处我

3、们把等式(1)称为函数f(x)在x0点处的泰勒级数展开式若x0=0,则上式为(2)(2)称为函数f(x)的麦克劳林级数展开式常用的泰勒级数展开式(取x0=0)(1)f(x)=ex的展开式由于在x0=0处的泰勒级数为其收敛半径:级数的收敛域为(-,+)又由泰勒公式其中介于0与x之间,于是有据夹逼定理知,对任意xR所以有(3)(2)f(x)=sinx的展开式在x0=0处的泰勒级数为由于级数的收敛域为(-,+)又由于所以有(4)(3)f(x)=cosx的展开式对上式两边对x求导有(4)f(x)

4、=ln(1+x)的展开式(6)即(5)(5)f(x)=(1+x),R的展开式f(x)在x0=0处的泰勒级数由于收敛区间为(-1,1)下面考虑?对于任意的x(-1,1)记由于代入前式有即满足:即解得由于S(0)=1,c=0(7)说明:(1)的展开式的推导过程就是一个幂级数求和的过程(化为微分方程计算)(2)展开式(3)—(7)的推导过程称为幂级数展开的直接展开法:(a)计算(b)验证等式成立可以看到,由于不易计算,等式的验证通常也较困难,所以利用直接法求函数的幂级数展开式常常是困难的(3)间

5、接展开法:利用函数的幂级数展开式的唯一性,借助一些已知的幂级数展开式求函数的幂级数展开式的方法称为幂级数展开的间接展开法这一方法的优点:(a)回避的计算(b)回避等式的验证例求在x=0处的泰勒级数展开式解因为对于任意的x(-,+)令x=x2,代入上式有所以,在x=0处的泰勒展开式为说明:利用可知所以有解例求在处的泰勒级数展开式因为由于代入上式有解例设,将f(x)展开为x的幂级数由于将这些展开式代入上式有解例求在x=0处的泰勒级数展开式.因为,而当时,在上式中令x=x2,有由于右边级数在处收敛及ar

6、ctanx在处连续,故有解例设将f(x)展开为形式的级数,其中令则代入将代入上式得幂级数的应用(1)数项级数的求和例计算数项级数的和解首先构造一辅助幂级数使符合下面两条件:(1)使为幂级数当x取特定值时的结果(2)辅助幂级数容易求和本题取辅助幂级数此时其收敛域为(-1,1)且求辅助幂级数的和函数记所以例计算数项级数的和解构造辅助幂级数则由此幂级数的收敛域为(-,+).并且所以求得(2)求高阶导数若,则有例设求解(3)近似计算(a)函数值的计算例计算的近似值,使之绝对误差不超过解因为由令得(交错级数

7、)由于所以解例计算绝对误差不超过设f(x)=arcsinx,则两边积分得令x=0.2得当n=1时,所以有(b)积分值的近似计算解例计算的近似值使之绝对误差不超过.因为这是一交错级数,由于于是有所以积分的符合精度要求的近似值为