§3力学量和算符的引进.ppt

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1、§3力学量和算符的引进（一）力学量平均值（1）坐标平均值（2）动量平均值（二）测不准关系（1）力学量（2）量子态及量子系综（3）测不准关系（三）力学量算符（1）动量算符（2）动能算符（3）角动量算符（4）Hamilton算符（一）力学量平均值在统计物理中知道，当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。（1）坐标平均值为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设ψ(

2、x)是归一化波函数，

3、ψ(x)

4、2是粒子出现在x点的几率密度，则对三维情况，设ψ(r)是归一化波函数，

5、ψ(r)

6、2是粒子出现在r点的几率密度，则x的平均值为（2）动量平均值一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为（二）测不准关系（1）力学量经典物理中，坐标、动量、动能、势能、角动量等描述质点的运动；电场、磁场的变化描述电磁场的运动与变化等。量子力学中，A)我们继续用这些力学量来描述微观粒子；B)微观粒子的波粒二象性决定了这种描述是统计性的，而不是决定性的。统计性的描述总是通过一组被统计的对象来描述的，如一届学生的健康状况，学习成绩等。微观粒子的统计分布及其变化由波函数

7、来决定。（2）量子态和量子系综对微观粒子物理状况或运动状态的统计性描述（微观粒子的力学量的统计性分布）－－量子态。波函数是量子态的数学表示。波函数的描述对象：量子系综在同样经典条件下相互独立地运动的大数目的微观粒子的集合－－量子系综“系综”与“系统”是不同的。波函数对于系综的描述是决定性的。（3）测不准关系量子规律与经典规律的本质的区别量子物理中单个粒子的不确定性的具体数学关系式：测不准关系粒子的单缝衍射实验粒子坐标其不确定范围：粒子动量其不确定范围：单缝衍射公式：（3）测不准关系是划分经典物理和量子物理适用范围的关节点。例1，原子中的电子运动估算出氢原子中电子速度氢原子中速度的不确定

8、度：氢原子中电子坐标的不确定度：例2，显象管中电子运动加速电压3000伏，可获得电子动量电子枪与屏的间距20cm，在屏上聚焦成横向尺寸小于0.01cm计算得到（二）力学量算符简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。（1）动量算符既然ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为c(px)一一对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示出来。但是ψ(x)不含px变量，为了能由ψ(x)来确定动量平均值，动量px必须改造成只含自变量x的形式，这种形式称为动量px的算

9、符形式，记为一维情况：相互关系：比较上面二式得两点结论：体系状态用坐标表象中的波函数ψ(r)描写时，坐标x的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。而动量px在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：三维情况：由归一化波函数ψ(r)求力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在ψ*(r)和ψ(r)之间,对全空间积分，即F是任一力学量算符（2）动能算符（3）角动量算符（4）Hamilton算符§4Schrodinger方程（一）引言（二）引进方程的基本考虑（三）自由粒子满足的方程（四）势场V(r)中运动的粒子（五）多粒子体系的Schrodinger方程这些问题

10、在1926年Schrodinger提出了波动方程之后得到了圆满解决。微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。（一）引言（二）引进方程的基本考虑从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t粒子的状态r和p。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。（1）经典情况（2

11、）量子情况3．第三方面，方程不能包含状态参量，如p,E等，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。1．因为，t=t0时刻，已知的初态是ψ(r,t0)且只知道这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含ψ对时间的一阶导数。2．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1(r,t)和ψ2(r,t)是方程的解，那末。ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就