实验4 常微分方程数值解.docx

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1、实验4常微分方程数值解实验目的：1、用MATLAB软件掌握求微分方程数值解的方法，并对结果作初步分析；2、通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。【题目1】放射性废物的处理：有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物时，把它们装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300ft的大海中。这种做法是否会造成放射性污染，自然引起生态学家及社会各界的关注。原子能委员会一再保证圆桶非常坚固，绝不会破漏，这种做法是绝对安全的。然而一些工程师们却对此表示怀疑，认为圆桶在海底相撞时有可能发生破裂。于是双方展开了一场笔墨官司。究竟谁的意见正确呢？原子能委员会使用的是5

2、5gal的圆桶，装满放射性废物时的圆桶重量为527.436lbf，在海水中受到的浮力为470.327lbf。此外，下沉时圆桶还要受到水的阻力，阻力与下沉速度成正比，工程师们做了大量实验，测得其比例系数为0.08lbfs/ft。同时，大量破坏性实验发现当圆桶速度超过40ft/s时，就会因为与海底冲撞而发生破裂。（1）建立解决上述问题的微分方程模型。（2）用数值和解析两种方法求解微分方程，并回答谁赢了这场官司。【问题分析】本题应该求出圆桶下沉到海底时的速度，比较其与40ft/s的大小，来决定谁最后赢了这场官司。已知水深h=300ft，装满废物的圆桶质量为m=527.436lbf，在

3、海水中受到的浮力为B=470.327lbf，圆桶受到的海水阻力D与下降速度v成正比，比例系数K=0.08lbfs/ft。设t时刻圆桶下落深度为y，圆桶速度为v，加速度为a，所受重力为G=mg，所受浮力为f，所受阻力为K*v,则圆桶所受合力为：F=G-f-Kv依据牛顿第二定律有：由此可以利用常微分方程求解，其中v(0)=0,y(0)=0。【程序运算】一、数值法记y(1)=y,y(2)=v,y=(y(1),y(2))T.编写如下M文件：functiondy=fangshe(t,y)%建立名为fangshe的函数M文件m=527.436*0.4536;G=527.436*0.4536

4、*9.8;f=470.327*0.4536*9.8;Kv=0.08*0.4536*9.8*y(2)/0.3048;dy=[y(2);(G-f-Kv)/m]%以向量性格是表示方程编写如下运行程序：>>ts=[0:2000];>>y0=[0,0];%给定初值>>opt=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-6);>>[t,y]=ode45(@fangshe,ts,y0,opt);>>plot(t,y(:,2)，‘r’)%画出v(t)-t图象%给定精确度>>gtext('t');>>gtext('v(t)');运行结果如下：>>plot(t,y(:,1

5、))，axis([0250350]),grid;%画出y(t)-t图像>>holdon,ymax=300*0.3048;>>depth=linspace(ymax,ymax,2001);>>plot(t,depth,'b')，axis([0250350]),grid;%画出最深高度图像>>gtext('t'),>>gtext('y(t)'),>>gtext('ymax')运行结果如下：由图像知，t大概等于13s时，圆桶到达海底，结合以上两图可以得知，圆桶落入海底时，会因为速度过大而破裂。二、解析法将模型分离变量得：对两边分别不定积分得：代入已知数据得：当v=40ft/s时，可利

6、用上式算出y值（即v的一阶常微分方程）：齐次解的形式为，其中q=-4.87676A=-217.59;特解为v=217.59；综上，故有：V(t)=13.8m/s=44.0ft/s【结果分析】结合题目的约束条件作图分析，判断下沉距离S=300ft时速度是否大于40ft/s或判断速度达到40ft/s时下沉的距离是否大于300ft（我选择用速度是否大于40ft/s判断），从而判断圆桶与海底冲撞时是否会破裂。从依据数值解图的中可见，圆桶还没沉到海底时，其速度已达到规定的圆桶不破裂的最大速度。由解析解算出的数据也说明，当下落高度达到300ft时，速度已达44.0ft/s超过规定速度，故圆

7、桶会破裂。工程师们赢了官司。从速度-时间曲线可以看到，开始时圆桶的速度随着时间逐渐增大，加速度逐渐减小，可见圆桶做的是加速度逐渐减小的变加速运动。时间充分大后（t>1500s）后，圆桶的加速度减至0，速度趋于一个定值，约为275m/s。【题目2】一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸B点。已知河水流速为v1与船在静水中的速度之比为k。（1）建立描述小船航线的数学模型，求其解析解；（2）设d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s，用数值解法求渡河所需的时间、任意时刻小船的位置