一重二难三变谈三角求值.doc

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1、一重二难三变谈三角求值浙江省绍兴县华甫中学()陈冬良三角部分在历年高考中每年约有3—4题，多数以选择题和填空题形式出现，考查有函数概念、性质、图象、三角变换，对于三角变换及应用主要是求值，主要考查公式的应用、变换能力，一般要综合运用和角与差角、倍角等公式，尤其对公式应用考查为多，以下为笔者在三角求值教学中的一些心得。一．三角求值中的重点：公式(工具)的记忆公式是解题之本，学生对三角题的生疏主要是对三角公式的生疏，解决三角题必须以熟记公式为基础，所以公式的记忆是三角求值中的重点。在三角中须熟记的公式有：（1）同角三角函

2、数八个关系式：倒数关系:cot=、sec=、csc=.商数关系:tan=、cot=.平方关系：、、.（2）诱导公式：①2k,,(k)的三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时的原函数值符号。②，的三角函数值等于的余名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时的原函数值符号。（3）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：（4）二倍角公式:sin2=2sincos、tan2=cos2==（5）万能公式：sin=、cos=、tan=（6）合一公式：asin+bcos=（其中）二.三角求值中的难点:（范围讨论、函数名的选

3、用）(1)范围讨论：在求值过程中，往往需对角度范围的讨论来确定函数值的符号，学生对讨论往往较难掌握又易被忽视.例1．在中，若,cosB=,则cosC为()A.B.C.或D.以上都不对错解：由题,cosB=得cosA=,sinB=cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)代入得cosC=或,则答案C分析：忽视了对角范围的讨论.正解：又A是三角形内角，得30

4、cosAcosB-sinAsinB)=只有一解.故答案选A评注：在一些三角求值中往往在题目的已知条件或在一些隐含的式子中限制着角的范围，随意的扩大会导致答案的增根，合理提取隐含条件来适当缩小范围是解题的关键，读者可自行解决以下一题：已知tan,tan是方程的两根，且,,求+的值.(2)函数名的选用：在已知三角函数值求复角中，学生对三角函数名的选用往往较随意，不通过考虑角度范围来确定函数名.例2．已知,都为锐角，且sin,sin,则+=_____错解：由,都为锐角,则cos=,cos所以sin(+)=sincos+co

5、ssin=+=为分析：以上错因函数名选取不当，以上求解也可结合缩小范围来解决.,cos>0则0<<.同理0<<,,+=.此例若能合理的选用函数名会更方便.优解：由,都为锐角，则,又sin,sin得cos=,cos所以cos(+)=-=,则+=评注：由函数单调性可得函数值与角度一一对应，一般地：若,则函数名选余弦；若,则函数名选正弦.三．三角求值中的三个变换(角度变换、公式变换、“1”的变换)(1)角度的变换：角度的变换是三角求值中很灵活的一个技巧，也可谓是精髓部分，能敏锐的捕捉到角度间的关系，通过角度间的变换对求值起

6、到事半功倍的效果.例3.(97全国理)求=________分析：题中有3个角：7、8和15,其中7、8是非特殊角，为达到求值的目的可写成：7=15-8,起到一个减元的效果，从而实现角的转换求解.解：原式===tan(45-30)=例4．函数f(x)=sin(x-20)-cos(x+40)的最大值等于_________.解：f(x)=sin(x-20)-cos(x+40)=sin(x-20)-cos[(x-20)+60]=sin(x-20)-cos(x-20)cos60+sin(x-20)sin60=sin(x-20)

7、-cos(x-20)=sin (x-65),所以f(x)最大值为.评注：以上两例经过适当的角度变换，又合理的选用了常用公式使得试题迎刃而解.角的变换如：二倍角公式中，不仅限于2是的两倍，还有4是2的两倍，是的两倍，是的两倍；又例如：2=、2=、2+=、=（-）+等.(2)公式的变形：公式适当变形来考查公式对学生而言有一定难度，学生很难灵活变形公式，若熟练掌握一些常见公式变形，对解题起到快、准的效果.例5.tan20+tan40+tan20tan40的值是___________解：原式=tan(20+40)(1-tan

8、20tan40)+tan20tan40=-tan20tan40+tan20tan40=例6．已知,化简=__________解：由二倍角余弦变形得,又,则=cos,同理,又得=-cos,所以=-cos.评注：常用公式变形有：cos，sin,1=(sin)cos,,(3)数值“1”的变换：1=tan45º、1=sin2x+cos2x等，“1”的逆