稳定性与能控能观性分解学习资料.ppt

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1、稳定性与能控能观性分解3.1.2输出稳定与状态稳定经典控制理论的数学模型是对系统的外部描述,它用输入作用下系统输出的变化来表征系统运动,稳定性所考察的对象是系统输出的变化(自由运动或瞬态响应是否收敛),这种稳定性被称为输出稳定或外部稳定。3.1.3系统稳定的充分必要条件前面不止一次提到过,线性系统稳定的充分必要条件是:系统特征根(闭环极点)全部具有负实部,下面对此加以证明。由上可见:1)只要特征根为负根Pi<0或具有负实部α<0,式中各瞬态响应项都会最终衰减为0,系统就是稳定的(注:tq是指数级的,其增长不及ept的衰减,tq·ept仍是收敛函数)。

2、2)系数an,…,a0的改变将引起特征根改变,从而影响系统的稳定性。3)系数bm,…,b0的改变只引起各组成项系数di、gj、hk改变,从而影响瞬态响应的幅值大小,但不影响特征根,与系统稳定性无关。4)输入幅值改变只引起c0和di、gj、hk改变,也不影响特征根,所以输入与线性系统稳定性也无关。3.1.4不求特征根的判别方法按特征根判别系统的稳定性,必须求解特征方程。尽管计算机求解特征方程并不困难,但工程中常常希望不计算特征根就可以判定系统的稳定性,并能够定性地分析系统动态特性,这种方法被称为稳定性判据,已成功地应用在工程中。常用的稳定性判据有:代数

3、判据(劳斯判据)——它按特征方程各项系数ai判别系统I/O稳定性;李亚普诺夫判据——它用能量函数V(x)判别系统状态稳定性;频域判据(奈奎斯特判据、波德判据)——它按开环频率特性GK(jω)判别系统I/O稳定性。3.2.1劳斯(Routh)判据(1)系统稳定的必要条件由二阶方程系数与特征根的关系,推到n阶特征方程的系数ai与特征根pj有如下关系:3.2代数判据(2)系统稳定的充分必要条件要判定系统稳定性,必须寻求系统稳定的充分必要条件,劳斯表解决了这一问题。劳斯表将特征方程系数ai排成下表中的sn和sn-1行(称为系数行),然后按下面的式(323

4、)～(325)计算各系数值,并将各系数值排出sn-2至s0行(称为导出行),这个表称为劳斯表。这一过程计算到之后的值都等于零时为止。用同样的方法,可以计算c,d,e等各行的系数劳斯判据系统稳定的充要条件是:劳斯表第一列各系数的符号相同且不为零。如劳斯表第一列的各系数符号不同或出现0,则系统不稳定,且符号改变次数等于正实部特征根数目。例3.1设系统的特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定性。解该方程系数满足稳定的必要条件。排出劳斯表如右,由表看出第一列系数符号不同,系统不稳定。因系数符号改变了2次(从+1→-2→+3),则系统有2个正实部根。用M

5、ATLAB语句p=[1,2,3,4,3];roots(p)求出的特征根为:01102+13935i01102-13935i-11102+05504i-11102-05504i确有2个正实部特征根。根据劳斯表,容易得到1～4阶系统稳定的充要条件如表3.1所示。(3)特殊情况的处理1)劳斯表中任意一行的第一个元素为零,而后的各元素并不为零。此时在计算劳斯表的下一行元素时,该元素必将趋于无穷,使劳斯阵列表的计算将无法进行。为了克服这一困难,可以用一个很小的正数ε来代替第一列等于零的元素,然后再计算其他各元素。例3.3设某系统的特征方程式为

6、试用劳斯判据判别系统的稳定性。解该系统劳斯表如右。由于(2-2/ε)为负数,故第一列各元素符号不完全一致,系统不稳定。第一列各元素符号改变次数为2,因此有2个具有正实部的根。2)劳斯表中任意一行的所有元素为零。出现这种情况时劳斯表的计算无法进行,为此利用该行上一行元素构成一个辅助多项式,并利用该多项式的导数多项式的系数代替全0行,从而把其余各元的计算继续下去。例3.5设某系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解计算劳斯表各元素列表如右,在s3行出现全0。辅助多项式为3.2.2谢聂判据根据特征多项式系数判别系统稳定性问题虽早已由劳斯、霍尔维

7、兹等人解决,但其判据的充要条件由多个式子所组成,在阶次较高时式子多而繁,且当n>20时劳斯表计算不能保证舍入误差稳定。我国学者谢绪恺于1957年在第一届力学学术会议上报告了一个惊人的发现:各项系数同号的多项式稳定的一个必要条件为俄国学者李亚普诺夫(Lyapunov)于1892年提出了研究系统稳定性的间接法(第一法)和直接法(第二法),直接法可以用于线性系统,也可以用于非线性系统。3.3.1李亚普诺夫第一法第一法是针对系统的线性化提出的,按系统特征根进行稳定性的定性判断。该法的主要内容是:若线性化系统的系统矩阵A的特征根:1)全部为负实部根,则实际

8、系统渐近稳定,在线性化过程中忽略的高阶导数项对系统稳定性无影响。即线性化模型渐近稳定,线性化前的非线性系统也