能控性与能观性分析.docx

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1、Chapter3能控性与能观性现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出输入关系分成两部分，一部分是系统的控制输入对状态的影响，由状态方程描述；另一部分是系统输出与状态的关系，由输出方程描述。I960年，Kalman根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。能控性：输入”⑴能否通过“状态方程”引起系统任一状态兀⑴的变化乂⑴？能控性描述通过输入“⑴对系统状态兀⑴的控制能力;能观性「系统任一状态兀⑴的变化能否通过“输出方程”引起输出y(r)的变化？或者由输出)0)的变化能否通过“输出方程”确定系

2、统所有状态变量区⑴，能观性描述通过输出)心)对系统状态x(/)的测辨能力。3.1系统的能控性3.1.1能控性的定义和性质系统能控性定义：在初始时刻时，对系统施加控制"⑴使系统状态4)发生变化,并且输出y(t),x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),y(t)=C(t)x(t),t>tQx,(r)xM图3-1能控性与能达性如果在有限时间内存在容许(满足£

3、w(r)

4、2dr

5、］上是完全能控(简称能控)的。而由0初态x(t.)=0,在时间“0，/」内转移到任意不为0的终态班“)工0称为能达性；对于线性定常系统，能控必能达，能达必能控，二者等价。(参见图3-1)系统能控性的基本性质：状态方程的解兀⑴=①(仏)兀0+

6、o(z,r)B(r)w(r)dr(3-1)根据定义，若状态向量是能控的，则存在容许控制u(t),使x(rJ=O(rd,r0)x0+

7、

8、仏⑴(传递性),r)fi(r)w(r)drX(G)=一J①(5厶)①匕，「)〃0)"(厂)€1厂*0对线性定常系统，①(<,C=eA(k°上式口J写成x(5)=-peA(/°"r)B-w(r)dr(3-2)A)3.1.2能控性判据—1将e~Ar^成有限和形式屮代入(3-2)式可得Jt=0兀0=-£e~ArB•w(r)dr〃一1A=0[-£zA(r>(r)dr]=A/i-ik=0ABrc=(BAB...占B)(3-3)A)An-lB)m■.卩n-)若系统能控，上式就有解，所以对任意向量勺，其充耍条件是能控矩阵满秩。定理3-1(心定理3.1.1)«阶线性定常系统g)=A・

9、x(r)+3・u(/)完全能控的充要条件是nxnm能控矩阵rankrc=rank(BAB...4心3)=〃满秩！该定理也适合离散系统。推论：系统是否能控只与输入矩阵B有关，而与输出矩阵C以及终端时间无关。若系统在区间仏厶］上是完全能控的，那么系统在区间［ta,th>ta］也一定是完全能控的。即在某一时间段完全能控的系统，在随后的时间段也一定是完全能控的。线性代数中己经证明，rankr；、=nmk（r；T：J，对单输入系统，R是方阵，而对多输入系统，（Q巧）才是方阵，所以，一个判断能控矩阵是否满秩的方法是:检验“方阵”或det（RT：）二^0,如杲怕（匚丁1）工0，能控性矩

10、阵满秩，如果行列式det（rcr^）=o,则能控性矩阵不满秩。例3-1（参考坊2例3.1.3,人5习题1-8）判断二阶水槽系统的能控性。/•、%]/+%0、/、1為丿10~a2)02丿<0仇丿U2)rankfc=rank(BAB)解:-rank勺由此可见,0一d］b］/?20—>只有当参数休E都工0,以上能控性矩阵才是满秩的。此时系统是完全能控的，即当水位高度偏离平衡位置时，可以通过调节两个阀门小“2调节水位高度回到平衡位置。故系统是能控的，说明水的输入量能够控制两个水槽的水位他、九的变化。因为由图，两个阀门，两个输入。若b}=0相当TU}=o的同时，兀2对石的影响也

11、没有了，所以此时兀］⑴不能控；若“2=0,相当于w2=0,所以兀2⑴不能控。能控性的直接判别对于某些特例，系统的能控性可直接判别。*定理1若线性定常系统x（t）=Ax（t）+Bu（t）的A为对角形,且对角线上的元素（特征值）均不相同，则状态完全能控的充要条件是B阵没有全为零的行。勺2"131、…q加/、■■■•■■■■■••••••+0,1■0,2■0/3■…°泅••U.■人丿■■bnl■•••••bgi)■第i行全为0,所以,第i个状态X,-=A-X/与所有输入无关，兀是不能控的，因此系统不完全能控。反过來，如果B阵没有一