能控性与能观性分析.doc

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1、Chapter3能控性与能观性现代控制理论屮，用状态空间方法描述系统，将系统的的输岀输入关系分成两部分，一•部分是系统的控制输入对状态的影响，由状态方程描述；另一部分是系统输出与状态的关系，由输出方程描述。I960年，Kalman根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。能控性：输入〃⑴能否通过“状态方程”引起系统任一状态兀⑴的变化i.(r)?能控性描述通过输入比⑴对系统状态x⑴的控制能力；能观性：系统任一状态兀⑴的变化能否通过“输出方程”引起输出y⑴的变化？或者由输出)心)的变化

2、能否通过“输出方程”确定系统所有状态变量尤⑴，能观性描述通过输出)心)对系统状态班/)的测辨能力。3.1系统的能控性3.1.1能控性的定义和性质系统能控性定义：在初始时刻对系统施加控制〃⑴使系统状态兀⑴发生变化，并且输出y(r),x(r)=A(r)x(r)+,y(r)=C(r)x(r),r>r0图3T能控性与能达性如果在有限时间ta内存在容许dr

3、全能控(简称能控)的。而由0初态x(/0)=0,在时间必凡］内转移到任意不为0的终态x(tf)0称为能达性;对于线性定常系统，能控必能达，能达必能控，二者等价。(参见图3-1)系统能控性的基本性质：状态方程的解x(r)=(r,r0)x0+

4、(r,r)B(r)M(r)dr(3-1)根据定义，若状态向量是能控的，则存在容许控制"⑴，使兀(X)=①仏,zo)xo+J①亿,r)B(r)w(r)dr=0(I由此可反解出x(r0)=-O_1(ta,f())J①(匚,r)B(r)w(r)dr①“⑴Jo)与积分变量厂无关，可以放到积分号下x(tQ)=一『

5、①(taJ。(-,r)S(r)u(T)dr①一匕丿0)=①仏儿)(反演性),①仏厶)①匕卫)=①仏卫)(传递性)兀仏)=-[“①(/o，〈)①=-£o(r0,r)5(r)w(r)dr对线性定常系统，①(5门=/5)上式可写成兀(5)=一「"心"〃订心)氏(3-2)%3.1.2能控性判据将厂『写成有限和形式e~Ar=^ak(r)Ak代入(3-2)式可得Jt=Oz莎(久、01x0=-£eArB•w(r)dr=工AkB[-£ak(r)w(r)dr]刀一I=工屮明=(BAB・・.An-]B)k=0,0”-l)若系统能控，上式就有解，所以对任意向量X。，其充要

6、条件是能控矩阵满秩。fc=(BAB...A"-]B)(3-3)定理3-1(心定理3.1.1)/7阶线性定常系统i(r)=A-x(/)+5-w(r)完全能控的充要条件是nxnm能控矩阵rankrc=rank(BAB・・・人心①二兄满秩！该对线性定常系统，①(5门=/5)上式可写成兀(5)=一「"心"〃订心)氏(3-2)%3.1.2能控性判据将厂『写成有限和形式e~Ar=^ak(r)Ak代入(3-2)式可得Jt=Oz莎(久、01x0=-£eArB•w(r)dr=工AkB[-£ak(r)w(r)dr]刀一I=工屮明=(BAB・・.An-]B)k=0,0”-

7、l)若系统能控，上式就有解，所以对任意向量X。，其充要条件是能控矩阵满秩。fc=(BAB...A"-]B)(3-3)定理3-1(心定理3.1.1)/7阶线性定常系统i(r)=A-x(/)+5-w(r)完全能控的充要条件是nxnm能控矩阵rankrc=rank(BAB・・・人心①二兄满秩！该定理也适合离散系统。推论：系统是否能控只与输入矩阵〃有关，而与输出矩阵C以及终端时间无关。若系统在区间［心儿］上是完全能控的，那么系统在区间［taJb>t（l］也一定是完全能控的。即在某一时间段完全能控的系统，在随后的吋间段也一定是完全能控的。线性代数屮已经证明，口

8、nkI；.=nmk（r；.r7J,对单输入系统，：是方阵，而对多输入系统，（「R：）才是方阵，所以，一个判断能控矩阵是否满秩的方法是:检验“方阵"detrc或血叫呼）亠5,如果det（rcr^）^0,能控性矩阵满秩,如果行列式det（rcr^）=o,则能控性矩阵不满秩。/•=/_%X、/+0、Z、uK丿0一°2丿&（0“2丿1弘2丿例3-1（参考禺例3.1.3,&5习题IX）判断二阶水槽系统的能控性。解：rankrc=rank(fiAB)(l一d］〃］b}b2、=rank0b20-a2b2J由此可见,只有当参数处E都HO,以上能控性矩阵才是

9、满秩的。此吋系统是完全能控的，即为水位高度偏离平衡位置时，可以通过调节两个阀门旳、“2调节水位高度回到平衡位