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1、第4章能控性和能观性(稳定性和最优控制;状态观测器和滤波器)§4.1定义及判定1.直观描述能控性:在下:(希望的终态).如(a),(c):可àà,故能控;而在(b):.故不能控；能观性:由可定出.如(c):不能观;而(a)和(b):,能观及由或中可得.上述系统中设,则abc2.定义设(4.1)(4.2)[注:有无或,不影响能观,因只需或]定义4.1(1)时刻的为能控的：若和,,使；(2)时刻为完全能控的：若时刻的都是能控的；(3)系统(4.1)是完全能控的：若都是完全能控的;此时称系统(4.1)是完全能控系统.(注:对定常系统,,(2)与(3)两种情形是等价的)定义4.2(1)时刻的一
2、个状态为能观的：若,由上的,,唯一确定;(2)时刻为完全能观的：若时刻的都是能观的；(3)系统(4.1)是完全能观的：若都是完全能观的,此时称系统(4.1)是完全能观系统.(注:对定常系统,,(2)与(3)等价)3.判定引理,n个函数,使得(4.3)证由Cayley-Hamilton定理,得,(中),进而…类推,都可用表示,代入,按整理得.(是含幂级数的和函数)定理4.1(4.2)完全能控其中(能控性判别矩阵).证[必要性]设(4.2)完全能控,对,必和,使.由,解出.由引理,得(4.4)令.(注:是向量).完全能控性:对,方程有解,故满秩,即行满秩.[充分性](i)先证当时,矩阵(4
3、.5)对可逆.反证:设某,W不可逆,则,使由且连续,得,于是,进而.从而与矛盾.故可逆.(ii)任给定后,求出,再取,(4.6)代入.充分性得证.注1(4.5)和(4.6)提供了的求法；注2若无束,对总.注3小，大,实际可能不行.例4.1检验水箱各情形的能控性.解在(a)与(c)中.à满秩,故(a)与(c)是完全能控的.在(b)中,,à不满秩故(b)不是完全能控的.例4.2检验下列水箱的完全能控性.(水平面面积1)解设水高分别为.在(a)中,及.易得,à满秩à故(a)是完全能控的.在(b)中,,àà故(b)是不完全能控的.è能控性与作用点有关.例4.3右图为防震平台(忽略平台质量),讨
4、论试讨论：(1)完全能控性的条件；(2)当,时,求,使,；(3)若要,,试比大小.解由力平衡à,故得(4.7)因此(4.8)à完全能控；(2)代入条件或,满秩à完全能控.当时,有,,,所以à,à.à.(3)当时,à,à.à,à.用Matlab仿真(实:,虚:).246-2O2246O246810246-20-15-10-5O510评价:时间长,控制缓,状态缓时间短,控制猛,状态急定理4.2定常系统完全能观的充要条件是(4.8)其中,(能观性判定矩阵)证[必要性]不妨设.反证法：若,必,使,即.à.若取,àè同样与下,有不同矛盾.[充分性]设列满秩,类似可证,对可逆.作.故.è完全能观.
5、例4.4判断本节首水箱系统的完全能观性.解在(a)和(b)中,.于是à满秩à(a)和(b)完全能观.在(c)中,由,得à不满秩à(c)不完全能观.例4.5判断图三联水箱(c)和(d)的完全能观性.解在(c)和(d)中,,；,；而A和A2同例4.2,故得(满秩),(不满).à(c)是完全能观的,而(d)是不完全能观的.例4.6讨论下图完全能控和能观性.解状态方程为,,,àà都满,能控又能观.
