第4章控制系统的能控性和能观性

《第4章控制系统的能控性和能观性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4章控制系统的能控性和能观性第1节能控性和能观性的定义◆设线性连续时变系统为如果在[]上，对任意初始状态，必能找到控制作用，能使由转移到，则称系统在时刻是状态完全能控的，简称系统能控。如果由[]上的，能惟一地确定时刻的初始状态，则称系统在时刻是状态完全能观的，简称系统能观。注意：能控性描述入支配状态的能力，能观性描述反映的能力。能控性和能观性的定义要求初始状态的任意性。◆线性定常连续系统的能控性和能观性与无关，常取。对线性定常系统，能控性实质上是描述支配模态的能力，若有任一模态不受输入的控制，系统便不能控

2、；能观性实质上是反映模态的能力，若有任一模态在输出中得不到反映，系统便不能观。第2节线性时变系统的能控性能观性判据1、格拉姆矩阵判据阶线性时变连续系统在时刻能控的充要条件是能控性格拉姆（Gramian）矩阵满秩；在时刻能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵满秩。证明：1）能控性判据证明◆充分性证明。假设满秩，则存在。用构造法。对任意的初始状态，系统的状态解为选择代入系统状态解式并令，则有充分性得证。◆必要性证明。用反证法。设奇异，则必有某使将表达式代入即有由于对连续，由上式必有又因假设系统能控，则有而从而可推知，

3、这与的前提相矛盾，故必为非奇异矩阵。必要性得证。证毕。2）能观性判据证明◆充分性证明。用构造法。假设满秩，则存在。已知在[]上的输出，构造这表明，在满秩的条件下，总可以由[]上的输出构造出任意的，即系统能观测。充分性得证。◆必要性证明。用反证法。设奇异，则必有某使即而这意味着即不反映状态的信息，为不能观状态。这与系统能观的前提相矛盾。奇异的假设不成立。必要性得证。证毕。2、能控能观性矩阵判据格拉姆矩阵判据需要计算状态转移矩阵，使用不方便。设、和在时间域上对时间是(n-1)阶连续可微的，则时变系统在初始时刻能

4、控的充分条件是能控性矩阵满秩，即时变系统在初始时刻能观的充分条件是能观性矩阵满秩，即式中，，，注意，以上判据只是能控性或能观性的充分条件。证明：只证明能控性矩阵判据。1）证明因即故有即2）证明考虑到和可推导出进而有因非奇异，故3）证明在上，行线性无关。采用反证法。设但行线性相关，则存在常向量，使成立，进而使成立。而这意味着对为行线性相关。这与假设相矛盾，所以反设不成立。故对，行线性无关。4）由3）之结论，证明能控性格拉姆矩阵非奇异。采用反证法。反设奇异，于是存在常向量，使成立，即由于被积函数非负，故可推知而

5、这与行线性无关相矛盾。这表明，反设不成立，即非奇异。5）因非奇异，由能控性格拉姆矩阵判据，证得系统在时刻能控。证毕。能观性矩阵判据的证明类似。例：试判断如下时变系统在的能控性和能观性。解：（1）用格拉姆矩阵判断该系统的系统矩阵满足故状态转移矩阵能控性格拉姆矩阵=显然。所以，系统在时是能控的。能观性格拉姆矩阵显然。所以，系统在时是能观的。（2）用能控能观性矩阵判断由于、和在上对高阶连续可微，可采用能控能观矩阵判断。显然，当时，。所以，系统在时是能控的。显然，当时，。所以，系统在时是能观的。说明：算式提供了使的

6、控制量其中一个的计算办法。设，，则第3节线性定常系统的能控性能观性判据1、能控能观性矩阵判据（1）能控性能观性判据阶线性定常连续系统能控的充要条件是能控性矩阵满秩；能观的充要条件是能观性矩阵满秩。注意：　　能控性与C阵及输出无关，能观性与B阵及输入无关。（2）判据证明　1）能控性判据证明不失一般性，在线性时变连续系统的格拉姆矩阵表达式中令，则，从而线性定常连续系统的能控性格拉姆矩阵◆充分性证明：已知，证明系统完全能控。采用反证法。设系统不能控，则奇异，从而对某维列常向量，可有即由此可以导出对上式连续求导直至

7、次，并在结果中令，从而，得进而有改写为式中是的元素，是的维行向量。由于的任意性，上式意味着行线性相关，即。这与的前提相矛盾。故反证不成立，系统为能控。充分性得证。◆必要性证明：已知系统完全能控，证明。采用反证法。设，即行线性相关，故必有一维列常向量，使下式成立：即有由凯莱-哈密尔顿定理可知，均可表为的线性组合，故上式可扩展为从而对任意，有合写为利用这一结果，便有从而可推知奇异，即系统不能控。这与系统为能控的前提相矛盾，的反设不成立，故有。必要性得证。证毕。2）能观性判据证明不失一般性，在线性时变连续系统的格

8、拉姆矩阵表达式中令，则，从而线性定常连续系统的能观性格拉姆矩阵◆充分性证明：已知，证明系统完全能观。采用反证法。设系统不能观，则奇异，从而对某维列常向量，可有即由此可以导出对上式连续求导直至次，并在结果中令从而，得进而有即改写为式中是的元素，是的维列向量。由于的任意性，上式意味着列线性相关，即。这与的前提相矛盾。故反证不成立，系统为能观。充分性得证。◆必要性证明：已知系统完全能观，证明。采用反证法。设，即列线性相