控制系统的能控性和能观性

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1、第4章控制系统的能控性和能观性第1节能控性和能观性的定义◆设线性连续时变系统为如在[]上，对任意，必能找到控制作用，使由转移到，则称系统在时刻是状态完全能控的（能控）。如果由[]上的，能惟一地确定，则称系统在时刻是状态完全能观（能观）。能控性描述入支配状态的能力，能观性描述反映的能力。◆线性定常连续系统的能控性和能观性与无关。对线性定常系统，能控性实质上是描述支配模态的能力，若有任一模态不受输入的控制，系统便不能控；能观性实质上是反映模态的能力，若有任一模态在输出中得不到反映，系统便不能观。第2节线性时变系统的能控性能观性判据1、格拉姆（Gr

2、amian）矩阵判据阶线性时变连续系统在时刻能控的充要条件是能控性格拉姆矩阵满秩；在时刻能观的充要条件是能观性格拉姆矩阵满秩。证明：以能控性判据证明为例。◆充分性证明。假设满秩，则存在。用构造法。对任意，系统的状态解为选择代入系统状态解式并令，则有充分性得证。◆必要性证明。用反证法。设奇异，则必有某使将表达式代入（过程略），又可推知，这与的前提相矛盾，故必为非奇异矩阵。必要性得证。证毕。*格拉姆矩阵判据需要计算，使用不便。2、能控能观性矩阵判据设、和在时间域上对(n-1)阶连续可微，则时变系统在时刻能控的充分条件是能控性矩阵满秩，即时变系统在

3、时刻能观的充分条件是能观性矩阵满秩，即式中，，，例：试判断如下时变系统在的能控性和能观性。解：自学（1）用格拉姆矩阵判断该系统的系统矩阵满足故状态转移矩阵能控性格拉姆矩阵=显然。所以，系统在时是能控的。能观性格拉姆矩阵显然。所以，系统在时是能观的。（2）用能控能观性矩阵判断由于、和在上对高阶连续可微，可采用能控能观矩阵判断。显然，当时，。所以，系统在时是能控的。显然，当时，。所以，系统在时是能观的。说明：算式提供了使的控制量其中一个的计算办法。设，，则第3节线性定常系统的能控性能观性判据1、能控能观性矩阵判据（1）能控性能观性判据阶线性定常连

4、续系统能控的充要条件是能控性矩阵满秩；能观的充要条件是能观性矩阵满秩。注意：　　能控性与C阵及输出无关，能观性与B阵及输入无关。（2）判据证明（略）　（3）能控能观性的对偶原理若线性定常连续系统与互为对偶，即，，则的能控（观）性与的能观（控）性等价。证明：易知，从而，得证。线性时变连续系统的能控性和能观性也具有对偶性。2、基于约旦规范型的判据（1）能控性和能观性的不变性设系统经变换为：可以证明，线性非奇异变换不改变线性系统的能控性和能观性。（自学）（2）基于对角线规范型的能控性能观性判椐设n阶系统特征值两两互异，经非奇异变换所得对角线规范型为

5、，其中：，，则系统能控的充要条件是阵没有全0行；系统能观的充要条件是阵没有全0列。注意：在对角线规范型下，状态的能控（观）性与模态的能控（观）性一一对应。证明：系统的能控性矩阵因互异，故当且仅当时才能成立。再由与能控性的等价性，基于对角规范型的能控性判据得证。类似，可证基于对角规范型的能观性判据。证毕。直观性说明：设系统为单变量系统，记其对角线规范型的信号流图可表为显然，当且仅当/时，系统能控/能观。（3）基于约旦规范型的能控性能观性判据设n阶系统的特征值重数为，经非奇异变换变换为约旦规范型,其中其中为对应于的约旦块。情况A、阵个约旦块的形式

6、均为与阵个约旦块相对应，阵和阵均划分为l个块。则有判据：具有上述形态的的n阶系统能控（能观）的充要条件是与A阵l个约旦块对应的阵各块末行行向量（阵各块首列列向量）为非0向量。说明：*上述结构的约旦规范型对应于各特征值只有一个独立的特征向量。*基于对角线规范型的能控能观性判据是该判据的特例（各）。情况B、（略）例：判断所给系统的能控性和能观性。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）3、基于传递函数（矩阵）的判据◆单变量系统判据单变量系统能控的充要条件是传递函数没有零极点对消；能观的充要条件是传递函数没有零极点对消；能控且能观的充要条件是传递

7、函数没有零极点对消。◆多变量系统判据在预解矩阵中，将中各元的最大公因子与相消后，记其为，且定义传函矩阵的零点为其分子多项式矩阵各元的公因子，则多变量系统能控的必要条件是矩阵没有零极点对消；能观的必要条件是矩阵没有零极点对消；能控且能观的必要条件是矩阵没有零极点对消。例：容易验证其能控且能观。A阵之的零点为，与的极点相同，抵消后，得其没有进一步的零极点对消，满足系统能控且能观的必要条件。第4节能控规范型与能观规范型1、能控规范型1）单输入系统的能控规范型定理：若线性定常单输入系统能控，则存在线性非奇异变换　，使其变换为能控规范型　　　　　　　　

8、　　（无特定形式行向量）式中，为系统特征多项式　　　　　　　的系数；变换矩阵其中，，即是能控性矩阵逆矩阵的最后一行。证明：略*该能控规范型有的文献称为能控规范Ｉ型。